To'plamlar va ehtimollar nazariyasi

Ushbu darsda to'plamlar va ehtimollar nazariyasining boshlang'ich tushunchalari haqida so'z yuritamiz. Tanga tashlaganda "gerb tushadimi?", zar otganda "juft ochiladimi?" — hayot tasodiflarga to'la. Ehtimollar nazariyasi ana shu tasodifni raqam bilan o'lchashni o'rgatadi, buning tili esa — to'plamlar.

§1. To'plamlar va ular ustida amallar

Ta'rif. To'plam — bu biror umumiy xossaga ega ob'ektlar (elementlar) majmuasi. Masalan, $A=\{1,2,3,4,5\}$ — birinchi beshta natural son to'plami.

To'plamlar ustida uchta asosiy amal bor:

Qoida. $A$ va $B$ to'plamlar uchun:

• Birlashma $A\cup B$ — ikkalasida (yo bittasida) bo'lgan barcha elementlar;
• Kesishma $A\cap B$ — ikkalasida ham bir vaqtda bo'lgan elementlar;
• Ayirma $A\setminus B$ — $A$ da bor, lekin $B$ da yo'q elementlar.

Misol. $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{3,4,5,6\}$ bo'lsin. $A\cup B$ va $A\cap B$ ni toping.
Yechish. Birlashmaga hamma elementni bir marta yozamiz, kesishmaga faqat umumiylarini:

Javob. $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$, $A\cap B=\{3,4\}$.

Elementlar sonini bog'lovchi muhim formula bor:

Qoida. $|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|$. Umumiy elementlarni ikki marta sanamaslik uchun ularni bir marta ayiramiz.

§2. Hodisa va klassik ehtimol

Endi tasodifiy tajribaga o'tamiz. Tanga tashlash, zar otish — bularning barcha mumkin natijalari to'plamini elementar hodisalar fazosi deb ataymiz.

Ta'rif. Bizni qiziqtirgan natijalar to'plami — hodisa deyiladi. Barcha natijalar teng imkonli bo'lsa, hodisaning ehtimoli:

Misol. Oddiy zar otildi. Juft son tushish ehtimolini toping.
Yechish. Barcha natijalar: $1,2,3,4,5,6$ — jami $n=6$. Juft sonlar: $2,4,6$ — jami $m=3$:

Javob. $\dfrac{1}{2}$.

Misol. Qutida 5 ta oq va 3 ta qora shar bor. Tavakkaliga bitta shar olindi. Uning oq bo'lish ehtimolini toping.
Yechish. Jami sharlar $n=5+3=8$, oq sharlar $m=5$:

Javob. $\dfrac{5}{8}$.

§3. Ehtimol xossalari va qo'shish qoidasi

Qoida. Ixtiyoriy hodisa uchun $0\le P(A)\le 1$. Muqarrar hodisaning ehtimoli 1, mumkin bo'lmagan hodisaniki 0.

Teskari hodisa (ya'ni "$A$ ro'y bermadi") juda foydali:

Qoida. $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

Misol. Ikki tanga tashlandi. Hech bo'lmaganda bitta gerb tushish ehtimolini toping.
Yechish. "Hech bo'lmaganda bitta" ni to'g'ridan sanash noqulay — teskari hodisadan foydalanamiz. Barcha natijalar: GG, GY, YG, YY — jami 4. Bitta ham gerb tushmaslik (YY) faqat 1 ta:

Javob. $\dfrac{3}{4}$.

Nomos (birgalikda ro'y bermaydigan) hodisalar uchun qo'shish qoidasi ishlaydi:

Qoida. Agar $A$ va $B$ birga ro'y bera olmasa (nomos hodisalar), u holda $P(A\cup B) = P(A) + P(B)$.

Eslatma. "Hech bo'lmaganda", "kamida bitta" so'zlarini ko'rsangiz, deyarli har doim teskari hodisa orqali yechish qulayroq — chunki teskari hodisa ancha sodda bo'ladi.

§ Lug'at

To'plam — set
Birlashma — union
Kesishma — intersection
Hodisa — event
Ehtimol — probability
Teskari hodisa — complementary event
Nomos hodisalar — mutually exclusive events