Ratsional sonlar va ular ustida amallar

Oddiy kasrlar va ular ustida amallar

2 daqiqa o'qish · 10 mashq

Ushbu darsda oddiy kasrlar, ularning tuzilishi hamda ular ustida bajariladigan qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish amallari haqida so‘z yuritamiz. Kasr — bu butunning bir qismini ifodalash uchun ixtiro qilingan qulay tildir. Bitta non to‘rt bo‘lakka bo‘linsa, uning uch bo‘lagi 34\frac{3}{4} kabi yoziladi.

§1. Boshlang‘ich tushunchalar

Ta’rif. ab\frac{a}{b} ko‘rinishidagi son oddiy kasr deyiladi. Bu yerda b≠0b\neq 0; aa — surat (butunning nechta bo‘lagi olingani), bb — maxraj (butun nechta teng bo‘lakka bo‘lingani).

Agar surat maxrajdan kichik bo‘lsa (34\frac{3}{4}), kasr to‘g‘ri kasr deyiladi. Agar surat maxrajdan katta yoki teng bo‘lsa (74\frac{7}{4}), noto‘g‘ri kasr deyiladi. Noto‘g‘ri kasrni butun va kasr qismga ajratib, aralash son ko‘rinishida yozish mumkin: 74=134\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}.

Savol. Nega 23\frac{2}{3} va 46\frac{4}{6} bir xil miqdorni bildiradi? Chunki ikkalasi ham butunning aynan uchdan ikki qismini ifodalaydi — faqat bo‘laklarning mayda-yirikligi bilan farq qiladi.

Qoida. Kasrning suratini va maxrajini bir xil noldan farqli songa ko‘paytirsak yoki bo‘lsak, kasr qiymati o‘zgarmaydi. Bu — kasrning asosiy xossasi: ab=a⋅kb⋅k\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}.

Shu xossaga tayanib kasrni qisqartiramiz — surat va maxrajni ularning umumiy bo‘luvchisiga bo‘lamiz.

Misol. 1824\frac{18}{24} kasrni qisqartiring.

Yechish. 1818 va 2424 ning eng katta umumiy bo‘luvchisi 66. Shunga bo‘lamiz:

1824=18:624:6=34\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}

Javob. 34\frac{3}{4}.

§2. Qo‘shish va ayirish

Qoida. Maxrajlari bir xil kasrlar qo‘shilganda (ayirilganda) suratlar qo‘shiladi (ayiriladi), maxraj o‘zgarmaydi: ac+bc=a+bc\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.

Maxrajlar har xil bo‘lsa, avval ularni umumiy maxrajga keltiramiz — odatda eng kichik umumiy karrali (EKUK) tanlanadi.

Misol. 56−14\frac{5}{6}-\frac{1}{4} ni hisoblang.

Yechish. 66 va 44 ning EKUK i 1212. Ikkala kasrni ham maxraji 1212 bo‘lgan ko‘rinishga keltiramiz:

56=1012,14=312\frac{5}{6}=\frac{10}{12},\qquad \frac{1}{4}=\frac{3}{12}
1012−312=712\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}

Javob. 712\frac{7}{12}.

Eslatma. Eng ko‘p uchraydigan xato — maxrajlarni ham qo‘shib yuborish. Esda tuting: ab+cd≠a+cb+d\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\neq\frac{a+c}{b+d}. Avval umumiy maxrajga keltirish shart.

§3. Ko‘paytirish va bo‘lish

Qoida. Ikki kasr ko‘paytirilganda suratlar o‘zaro, maxrajlar o‘zaro ko‘paytiriladi: ab⋅cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}.

Bo‘lish — ko‘paytirishga teskari amal. Kasrga bo‘lish uchun uni teskarisiga (surat bilan maxrajni almashtirib) aylantirib, ko‘paytiramiz.

Qoida. ab:cd=ab⋅dc\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}. Bu yerda dc\frac{d}{c} — cd\frac{c}{d} ning teskari kasri.

Misol. 38⋅49\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{9} ni hisoblang.

Yechish. Ko‘paytirishdan oldin qiyalab qisqartirish qulay: 44 va 88 ni 44 ga, 33 va 99 ni 33 ga bo‘lamiz.

38⋅49=12⋅13=16\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{9}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}

Javob. 16\frac{1}{6}.

Misol. 56:109\frac{5}{6}:\frac{10}{9} ni hisoblang.

Yechish. Bo‘luvchini teskarisiga aylantiramiz va ko‘paytiramiz:

56:109=56⋅910=5⋅96⋅10=4560=34\frac{5}{6}:\frac{10}{9}=\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}=\frac{5\cdot 9}{6\cdot 10}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}

Javob. 34\frac{3}{4}.

§ Lug‘at

Oddiy kasr — common fraction
Surat — numerator
Maxraj — denominator
To‘g‘ri kasr — proper fraction
Noto‘g‘ri kasr — improper fraction
Aralash son — mixed number
Qisqartirish — reduction
Umumiy maxraj — common denominator

Bu mavzuni mashq qilib ko'ring

10 ta mashq savoli tayyor. Har bir savoldan keyin batafsil yechim ko'rsatiladi va natijangiz saqlanadi.

Mashqni boshlash