Ratsional sonlar va ular ustida amallar

Ushbu darsda ratsional sonlar — musbat, manfiy sonlar va nol — hamda ular ustida bajariladigan amallar haqida so‘z yuritamiz. Manfiy sonlar hayotda ko‘p uchraydi: haroratning noldan pastligi, qarz, dengiz sathidan pastlik — bularning bari manfiy son tili bilan aniq ifodalanadi.

§1. Ratsional son tushunchasi

Ta’rif. $\frac{m}{n}$ ko‘rinishida yozilishi mumkin bo‘lgan son ratsional son deyiladi. Bu yerda $m$ — butun son, $n$ — noldan farqli butun son. Barcha ratsional sonlar to‘plami $\mathbb{Q}$ bilan belgilanadi.

Har bir butun son ham ratsional: $5=\frac{5}{1}$. Har bir ratsional sonning son o‘qida o‘z o‘rni bor. Noldan o‘ngdagilar musbat, chapdagilar manfiy.

Ta’rif. Sonning noldan uzoqligi (ishorasiz qiymati) uning moduli deyiladi va $|a|$ bilan belgilanadi. Masalan, $|-7|=7$, $|4|=4$.

Savol. $-5$ va $-2$ dan qaysi biri katta? Son o‘qida $-2$ noldan yaqinroq, ya’ni o‘ngroqda turadi, shu sabab $-2>-5$. Manfiy sonlarda moduli katta bo‘lgani kichik bo‘ladi.

§2. Qo‘shish va ayirish

Qoida. Ishoralari bir xil sonlarni qo‘shganda modullar qo‘shiladi, umumiy ishora saqlanadi. Ishoralari har xil bo‘lsa, katta moduldan kichigi ayiriladi, natijaga moduli katta sonning ishorasi qo‘yiladi.

Misol. $-8+5$ ni hisoblang.

Yechish. Ishoralar har xil. Modullar farqi $8-5=3$, moduli katta son $-8$ manfiy, demak natija manfiy:

Javob. $-3$.

Ayirish — qo‘shishga keltiriladigan amal. Sonni ayirish uning qarama-qarshisini qo‘shishga teng.

Qoida. $a-b = a+(-b)$. Ayni paytda oldingi minus qavsdagi ishorani almashtiradi: $-(-6)=+6$.

Misol. $-4-(-9)$ ni hisoblang.

Yechish. Ikki manfiy ishora plyusga aylanadi:

Javob. $5$.

§3. Ko‘paytirish va bo‘lish

Qoida. Ishoralari bir xil ikki sonning ko‘paytmasi (bo‘linmasi) musbat, ishoralari har xil bo‘lsa manfiy bo‘ladi. Qisqacha: $(+)(+)=+$, $(-)(-)=+$, $(+)(-)=-$, $(-)(+)=-$.

Eslatma. Ishoralarni aniqlashning oson yo‘li: agar ko‘paytmada manfiy ko‘paytuvchilar soni juft bo‘lsa natija musbat, toq bo‘lsa manfiy bo‘ladi.

Misol. $(-3)\cdot(-4)\cdot(-2)$ ni hisoblang.

Yechish. Modullar ko‘paytmasi $3\cdot4\cdot2=24$. Manfiy ko‘paytuvchilar $3$ ta — toq, demak natija manfiy:

Javob. $-24$.

Misol. $\dfrac{-36}{-4}$ ni hisoblang.

Yechish. Ishoralar bir xil (ikkalasi ham manfiy), demak bo‘linma musbat:

Javob. $9$.

Misol. Amallar tartibiga rioya qilib hisoblang: $-2+3\cdot(-4)$.

Yechish. Avval ko‘paytirish, keyin qo‘shish:

Javob. $-14$.

Eslatma. Amallar tartibi o‘zgarmaydi: avval qavs ichi, so‘ng ko‘paytirish va bo‘lish, oxirida qo‘shish va ayirish. Hech qachon nolga bo‘lish mumkin emas — $\frac{a}{0}$ aniqlanmagan.

§ Lug‘at

Ratsional son — rational number
Butun son — integer
Modul — absolute value
Manfiy son — negative number
Musbat son — positive number
Qarama-qarshi son — opposite number
Amallar tartibi — order of operations