O'nli kasrlar. Davriy o'nli kasrlar. Haqiqiy sonlar

Ushbu darsda o‘nli kasrlar, ularning davriy turi hamda barcha sonlarni birlashtiruvchi haqiqiy sonlar to‘plami haqida so‘z yuritamiz. O‘nli kasr — maxraji $10,\ 100,\ 1000$ kabi o‘nning darajasi bo‘lgan kasrning qulay, vergul yordamidagi yozuvidir.

§1. O‘nli kasr tushunchasi

Ta’rif. Maxraji $10$ ning butun darajasi bo‘lgan kasr o‘nli kasr deyiladi va vergul yordamida yoziladi. Masalan, $\frac{7}{10}=0{,}7$, $\frac{23}{100}=0{,}23$.

Verguldan keyingi har bir raqam o‘z xonasiga ega: o‘ndan bir, yuzdan bir, mingdan bir. Shu sabab o‘nli kasrlar ustida amallar butun sonlardagidek, faqat vergulga e’tibor berib bajariladi.

Qoida. O‘nli kasrlarni qo‘shish va ayirishda ularni vergul ostiga vergul keladigan qilib joylashtiramiz, so‘ng oddiy sonlardek amal bajaramiz.

Misol. $3{,}45+12{,}8$ ni hisoblang.

Yechish. $12{,}8$ ni $12{,}80$ deb yozib, xonalarni tekislaymiz:

Javob. $16{,}25$.

Misol. $0{,}6\cdot 0{,}04$ ni hisoblang.

Yechish. Vergulga qaramay ko‘paytiramiz: $6\cdot 4=24$. Ko‘paytuvchilardagi verguldan keyingi raqamlar soni $1+2=3$ ta, demak natijada ham $3$ ta:

Javob. $0{,}024$.

§2. Davriy o‘nli kasrlar

Ba’zan kasrni o‘nli ko‘rinishga o‘tkazganda bo‘lish tugamaydi va raqamlar takrorlana boshlaydi.

Ta’rif. Verguldan keyin bir yoki bir necha raqam cheksiz takrorlanadigan o‘nli kasr davriy o‘nli kasr deyiladi. Takrorlanuvchi qism davr deb ataladi va qavs ichida yoziladi: $0{,}3333\ldots=0{,}(3)$.

Savol. $\frac{1}{3}$ ni bo‘lganda nega hech qachon aniq tugamaydi? Chunki $10$ ni $3$ ga bo‘lganda qoldiq doim $1$ bo‘lib qaytaveradi — jarayon o‘zini takrorlaydi.

Misol. $\frac{2}{3}$ ni o‘nli kasrga aylantiring.

Yechish. $2$ ni $3$ ga bo‘lamiz: $2:3=0{,}6666\ldots$ Raqam $6$ cheksiz takrorlanadi:

Javob. $0{,}(6)$.

Eslatma. Har qanday oddiy kasrni o‘nli kasrga aylantirsak, natija yo chekli, yo davriy bo‘ladi. Buning teskarisi ham to‘g‘ri: har qanday chekli yoki davriy o‘nli kasrni oddiy kasr ko‘rinishida yozish mumkin. Demak, davriy o‘nli kasrlar — ratsional sonlardir.

§3. Haqiqiy sonlar

Ammo hamma o‘nli kasr ham davriy emas. $\sqrt{2}=1{,}41421356\ldots$ cheksiz, lekin hech qachon takrorlanmaydi. Bunday sonlarni oddiy kasr sifatida yozib bo‘lmaydi.

Ta’rif. Cheksiz, davriy bo‘lmagan o‘nli kasr bilan ifodalanadigan son irratsional son deyiladi. Masalan, $\sqrt{2}$, $\pi=3{,}14159\ldots$.

Ta’rif. Ratsional va irratsional sonlarning birlashmasi haqiqiy sonlar to‘plami deyiladi va $\mathbb{R}$ bilan belgilanadi. To‘plamlar orasidagi bog‘lanish: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

Haqiqiy sonlarni son o‘qi (koordinata to‘g‘ri chizig‘i) ustidagi nuqtalar bilan tasavvur qilish qulay: o‘qning har bir nuqtasiga aynan bitta haqiqiy son mos keladi va aksincha.

Misol. $\sqrt{9}$ va $\sqrt{10}$ dan qaysi biri ratsional?

Yechish. $\sqrt{9}=3$ — butun son, demak ratsional. $\sqrt{10}=3{,}162\ldots$ — davriy bo‘lmagan cheksiz kasr, demak irratsional.

Javob. $\sqrt{9}$ ratsional, $\sqrt{10}$ irratsional.

§ Lug‘at

O‘nli kasr — decimal fraction
Davr — period
Davriy o‘nli kasr — repeating decimal
Chekli o‘nli kasr — terminating decimal
Irratsional son — irrational number
Haqiqiy son — real number
Son o‘qi — number line