Nisbat, proporsiya, qism va foiz

Ushbu darsda nisbat, proporsiya hamda qism va foiz tushunchalari haqida so‘z yuritamiz. Bu mavzular kundalik hayotning tili: narx chegirmasi, retsept miqdorlari, xaritadagi masshtab — bularning bari nisbat va foiz orqali ifodalanadi.

§1. Nisbat

Ta’rif. Ikki sonning bo‘linmasi ularning nisbati deyiladi. $a$ ning $b$ ga nisbati $a:b$ yoki $\frac{a}{b}$ ko‘rinishida yoziladi va $a$ ning $b$ dan necha marta katta yoki qaysi qismini tashkil etishini ko‘rsatadi.

Nisbatni ham kasr kabi qisqartirish mumkin. Masalan, sinfda $12$ o‘g‘il va $18$ qiz bo‘lsa, o‘g‘illarning qizlarga nisbati $12:18=2:3$.

Misol. $200$ so‘m va $50$ so‘mning nisbatini soddalashtiring.

Yechish. Ikkala songa umumiy bo‘luvchi $50$ ga bo‘lamiz:

Javob. $4:1$, ya’ni birinchi summa ikkinchisidan $4$ marta katta.

§2. Proporsiya

Ta’rif. Ikki nisbatning tengligi proporsiya deyiladi: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$. Bu yerda $a$ va $d$ — chetki hadlar, $b$ va $c$ — o‘rta hadlar.

Qoida. Proporsiyaning asosiy xossasi: chetki hadlar ko‘paytmasi o‘rta hadlar ko‘paytmasiga teng: $a\cdot d = b\cdot c$. Shu xossa yordamida noma’lum hadni topamiz.

Savol. Nega ikkita idishdagi shirinlik nisbati bir xil bo‘lsa, ta’mi ham bir xil bo‘ladi? Chunki proporsiya miqdorlar orasidagi bog‘liqlikni saqlaydi — masshtab o‘zgarsa ham munosabat o‘zgarmaydi.

Misol. $\dfrac{x}{6}=\dfrac{10}{15}$ tenglamadan $x$ ni toping.

Yechish. Asosiy xossaga ko‘ra chetki va o‘rta hadlarni ko‘paytiramiz:

Javob. $x=4$.

Eslatma. To‘g‘ri proporsional bog‘liqlikda bir kattalik necha marta ortsa, ikkinchisi ham shuncha marta ortadi (masofa va vaqt bir tezlikda). Teskari proporsionallikda esa biri ortganda ikkinchisi shuncha marta kamayadi (ishchilar soni va bajarish vaqti).

§3. Qism va foiz

Ta’rif. Butunning yuzdan bir qismi foiz deyiladi va $\%$ bilan belgilanadi: $1\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$.

Foizni kasrga aylantirish uchun $100$ ga bo‘lamiz; kasrni foizga aylantirish uchun $100$ ga ko‘paytiramiz. Masalan, $25\%=0{,}25=\frac{1}{4}$.

Qoida. Sonning berilgan foizini topish uchun sonni foizning o‘nli kasr ko‘rinishiga ko‘paytiramiz: $a$ ning $p\%$ i $= a\cdot\dfrac{p}{100}$.

Misol. $800$ so‘mlik mahsulotga $15\%$ chegirma qilindi. Chegirma summasini toping.

Yechish. $15\%=0{,}15$, shuni narxga ko‘paytiramiz:

Javob. $120$ so‘m chegirma qilindi (yangi narx $680$ so‘m).

Misol. Sinfdagi $30$ o‘quvchidan $6$ tasi olimpiadada qatnashdi. Qatnashuvchilar necha foizni tashkil etadi?

Yechish. Qismni butunga bo‘lib, $100$ ga ko‘paytiramiz:

Javob. $20\%$.

Misol. Bir sonning $12\%$ i $48$ ga teng. Shu sonni toping.

Yechish. Noma’lum son $x$ bo‘lsin, $x\cdot 0{,}12 = 48$:

Javob. $400$.

§ Lug‘at

Nisbat — ratio
Proporsiya — proportion
Chetki hadlar — extreme terms
O‘rta hadlar — middle terms
To‘g‘ri proporsional — directly proportional
Teskari proporsional — inversely proportional
Foiz — percent
Qism — part