Natural sonlar va ular ustida amallar

Ushbu darsda matematikaning eng birinchi tushunchasi — natural sonlar va ular ustidagi to‘rt amal haqida so‘z yuritamiz. Natural sonlar biz sanashni boshlaganimizda paydo bo‘lgan, shuning uchun ular butun matematikaning poydevori hisoblanadi.

§1. Natural sonlar tushunchasi

Sanash uchun ishlatiladigan $1, 2, 3, 4, \dots$ sonlari natural sonlar deyiladi. Ular hech qachon tugamaydi: har qanday natural songa $1$ qo‘shsak, undan katta yangi natural son hosil bo‘ladi.

Ta’rif. Buyumlarni sanashda ishlatiladigan $1, 2, 3, \dots$ sonlar natural sonlar deyiladi. Ularning to‘plami $\mathbb{N}$ harfi bilan belgilanadi.

Eslatma. Nol ($0$) buyumlarni sanashda ishlatilmaydi — u «hech narsa» degani. Shuning uchun maktab an’anasida $0$ natural son hisoblanmaydi, biroq u natural sonlarga qo‘shilib butun manfiy bo‘lmagan sonlarni hosil qiladi.

Har bir natural son o‘nlik sanoq sistemasida $0, 1, 2, \dots, 9$ raqamlari yordamida yoziladi. Masalan, $375$ sonida $3$ — yuzlar, $7$ — o‘nlar, $5$ — birlar razryadida turadi:

§2. Qo‘shish va ayirish

Qo‘shish — bu ikki to‘plamni birlashtirish amali. Qo‘shiluvchilar o‘rnini almashtirsak, yig‘indi o‘zgarmaydi.

Qoida. Qo‘shishning o‘rin almashtirish xossasi: $a+b=b+a$. Guruhlash xossasi: $(a+b)+c=a+(b+c)$.

Ayirish esa qo‘shishga teskari amaldir: $a-b=c$ degani $c+b=a$ demakdir. Ya’ni ayirishni tekshirish uchun natijaga ayriluvchini qo‘shib ko‘rish yetarli.

Misol. $\;528 + 274$ ni hisoblang va tekshiring.

Yechish. Razryadlab qo‘shamiz:

$$528 + 274 = (500+200)+(20+70)+(8+4) = 700+90+12 = 802.$$

Tekshiramiz: $802 - 274 = 528$. To‘g‘ri.

Javob. $802$.

§3. Ko‘paytirish va bo‘lish

Ko‘paytirish — bir xil qo‘shiluvchilarni qisqa yozish usuli: $4\cdot3 = 4+4+4 = 12$. Bo‘lish esa ko‘paytirishga teskari amaldir.

Qoida. Ko‘paytirishning taqsimot xossasi: $a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$. Bu xossa og‘zaki hisoblashni juda osonlashtiradi.

Savol. Nega $23\cdot 101$ ni ustun qilib yozmasdan ham tez hisoblash mumkin? Chunki $101 = 100+1$, demak taqsimot xossasidan foydalanamiz.

Misol. $\;23\cdot 101$ ni og‘zaki hisoblang.

Yechish.

$$23\cdot 101 = 23\cdot(100+1) = 23\cdot100 + 23\cdot1 = 2300+23 = 2323.$$

Javob. $2323$.

Amallar tartibiga e’tibor bering: avval qavs ichidagilar, so‘ng ko‘paytirish va bo‘lish, oxirida qo‘shish va ayirish bajariladi.

Misol. $\;18 - 3\cdot 2 + (10-6)$ ni hisoblang.

Yechish.

$$18 - 3\cdot 2 + (10-6) = 18 - 6 + 4 = 12 + 4 = 16.$$

Javob. $16$.

Yana bir misolni ko‘raylik, unda ko‘paytirish va bo‘lish aralashgan.

Misol. $\;144 : 12 \cdot 3$ ni hisoblang.

Yechish. Bir xil bosqichdagi amallar chapdan o‘ngga bajariladi:

$$144 : 12 \cdot 3 = 12 \cdot 3 = 36.$$

Javob. $36$.

§ Lug‘at

Natural son — natural number

Qo‘shish — addition

Ayirish — subtraction

Ko‘paytirish — multiplication

Bo‘lish — division

Yig‘indi — sum

Ko‘paytma — product

Razryad — place value