Qoldiqli bo'lish. Oxirgi raqam

Ushbu darsda son boshqasiga to‘liq bo‘linmaganda paydo bo‘ladigan qoldiqli bo‘lishni, hamda katta darajalarning oxirgi raqamini hisoblab o‘tirmasdan topish usulini o‘rganamiz. Bu mavzular musobaqa masalalarida juda ko‘p uchraydi.

§1. Qoldiqli bo‘lish

Har bir natural sonni boshqasiga bo‘lganda to‘liq to‘g‘ri kelmasa, ortib qolgan qism — qoldiq paydo bo‘ladi.

Ta’rif. $a$ ni $b$ ga bo‘lganda qoldiqli bo‘lish shunday yoziladi:

$$a = b\cdot q + r, \qquad 0 \le r < b,$$

bu yerda $q$ — to‘liqsiz bo‘linma, $r$ — qoldiq.

Eng muhim shart: qoldiq har doim bo‘luvchidan kichik bo‘ladi. Agar $r=0$ bo‘lsa, bo‘linish qoldiqsiz demakdir.

Misol. $\;47$ ni $5$ ga qoldiqli bo‘ling.

Yechish. $5$ ning $47$ dan oshmaydigan eng katta karralisi $45 = 5\cdot 9$. Demak:

$$47 = 5\cdot 9 + 2.$$

To‘liqsiz bo‘linma $q=9$, qoldiq $r=2$.

Javob. $q=9,\; r=2$.

Eslatma. Qoldiqqa qarab sonlarni sinflarga ajratamiz. Masalan, $5$ ga bo‘lganda qoldiq $0,1,2,3,4$ bo‘lishi mumkin — jami $5$ ta sinf. Bu tushuncha «modul arifmetikasi»ning asosidir.

Savol. Ikki sonni qo‘shganda qoldiqlar nima bo‘ladi? Qoldiqlar ham qo‘shiladi (agar bo‘luvchidan oshib ketsa, yana qoldiq olinadi). Masalan, $5$ ga bo‘lganda $2$ va $4$ qoldiqli sonlar yig‘indisi $6$, ya’ni $1$ qoldiq beradi.

§2. Oxirgi raqam va uning davriyligi

Sonning oxirgi raqami — aslida uni $10$ ga bo‘lgandagi qoldiqdir. Ko‘paytmaning oxirgi raqami faqat ko‘paytuvchilarning oxirgi raqamlariga bog‘liq.

Qoida. Ko‘paytmaning oxirgi raqamini topish uchun faqat ko‘paytuvchilarning oxirgi raqamlarini ko‘paytirish kifoya.

Misol. $\;3^4$ sonining oxirgi raqamini toping.

Yechish. Darajalarni ketma-ket olamiz:

$$3^1=3,\; 3^2=9,\; 3^3=27,\; 3^4=81.$$

Oxirgi raqam $1$.

Javob. $1$.

Darajaning oxirgi raqamlari doim takrorlanib turadi — davriylik hosil bo‘ladi. $3$ uchun oxirgi raqamlar: $3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, \dots$ — davr uzunligi $4$.

Qoida. $a^n$ ning oxirgi raqamini topish uchun davr uzunligini aniqlab, $n$ ni davr uzunligiga bo‘lgandagi qoldiqdan foydalanamiz.

Misol. $\;7^{2023}$ sonining oxirgi raqamini toping.

Yechish. $7$ ning darajalari oxirgi raqamlari: $7,9,3,1$ — davr $4$. Endi $2023$ ni $4$ ga bo‘lamiz:

$$2023 = 4\cdot 505 + 3.$$

Qoldiq $3$, demak davrning $3$-a’zosi kerak — u $3$.

Javob. $7^{2023}$ ning oxirgi raqami $3$.

Misol. $\;2^{100}$ sonining oxirgi raqamini toping.

Yechish. $2$ ning oxirgi raqamlari: $2,4,8,6$ — davr $4$. $100 = 4\cdot 25 + 0$, ya’ni qoldiq $0$ — bu davrning oxirgi ($4$-) a’zosiga mos keladi.

$$2^4 = 16 \Rightarrow \text{oxirgi raqam } 6.$$

Javob. $6$.

Eslatma. Qoldiq $0$ chiqsa, davrning oxirgi a’zosini olamiz, birinchisini emas — bu joyda ko‘p xato qilinadi.

§ Lug‘at

Qoldiqli bo‘lish — division with remainder

Qoldiq — remainder

To‘liqsiz bo‘linma — incomplete quotient

Bo‘luvchi — divisor

Oxirgi raqam — last digit

Davriylik — periodicity

Daraja — power