Bo'linuvchanlik. Natural bo'luvchilar soni va yig'indisi

Ushbu darsda bo‘linuvchanlik tushunchasini chuqurlashtiramiz va sonni tub ko‘paytuvchilarga ajratish yordamida uning barcha bo‘luvchilari sonini hamda ularning yig‘indisini birma-bir yozmasdan hisoblashni o‘rganamiz.

§1. Bo‘linuvchanlik tushunchasi

Ta’rif. Agar $a$ soni $b$ ga qoldiqsiz bo‘linsa, ya’ni $a = b\cdot k$ bo‘ladigan natural $k$ mavjud bo‘lsa, $a$ soni $b$ ga bo‘linadi deymiz va $b \mid a$ kabi yozamiz.

Masalan, $6 \mid 24$, chunki $24 = 6\cdot 4$. Bunda $b$ — $a$ ning bo‘luvchisi, $a$ esa $b$ ning karralisi.

Eslatma. Bo‘linuvchanlikning muhim xossasi: agar $c \mid a$ va $c \mid b$ bo‘lsa, u holda $c \mid (a+b)$ va $c \mid (a-b)$. Ya’ni umumiy bo‘luvchi yig‘indi va ayirmani ham bo‘ladi.

§2. Natural bo‘luvchilar soni

Sonning nechta bo‘luvchisi borligini bilish uchun har birini sanab chiqish shart emas — tub ko‘paytuvchilarga ajratish yetarli.

Qoida. Agar son $n = p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ shaklida ajralsa, uning barcha natural bo‘luvchilari soni:

$$\tau(n) = (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1).$$

Nega $+1$? Chunki har bir tub $p_i$ ni bo‘luvchida $0$ dan $a_i$ gacha bo‘lgan darajalarda ishlatishimiz mumkin — jami $a_i+1$ ta variant.

Misol. $\;36$ ning nechta natural bo‘luvchisi bor?

Yechish. Ajratamiz: $36 = 2^2\cdot 3^2$. Formuladan:

$$\tau(36) = (2+1)(2+1) = 9.$$

Tekshiramiz: $1,2,3,4,6,9,12,18,36$ — haqiqatan $9$ ta.

Javob. $9$ ta bo‘luvchi.

Savol. Qanday sonlarning bo‘luvchilari soni toq bo‘ladi? Faqat to‘la kvadratlarning, chunki $\tau(n)$ toq bo‘lishi uchun barcha $(a_i+1)$ toq, ya’ni barcha $a_i$ juft bo‘lishi kerak.

§3. Bo‘luvchilar yig‘indisi

Barcha bo‘luvchilarni qo‘shish uchun ham chiroyli formula bor.

Qoida. $n = p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ uchun barcha bo‘luvchilar yig‘indisi:

$$\sigma(n) = \left(1+p_1+\dots+p_1^{a_1}\right)\cdots\left(1+p_k+\dots+p_k^{a_k}\right).$$

Misol. $\;12$ ning bo‘luvchilari yig‘indisini toping.

Yechish. $12 = 2^2\cdot 3$. Formuladan:

$$\sigma(12) = (1+2+4)(1+3) = 7\cdot 4 = 28.$$

Tekshiramiz: $1+2+3+4+6+12 = 28$. To‘g‘ri.

Javob. $28$.

Misol. $\;100$ ning bo‘luvchilari soni va yig‘indisini toping.

Yechish. $100 = 2^2\cdot 5^2$.

$$\tau(100) = (2+1)(2+1) = 9.$$

$$\sigma(100) = (1+2+4)(1+5+25) = 7\cdot 31 = 217.$$

Javob. $9$ ta bo‘luvchi, ularning yig‘indisi $217$.

§ Lug‘at

Bo‘linuvchanlik — divisibility

Bo‘luvchi — divisor

Karrali — multiple

Bo‘luvchilar soni — number of divisors

Bo‘luvchilar yig‘indisi — sum of divisors

To‘la kvadrat — perfect square