Sonlarni tub ko'paytuvchilarga ajratish. EKUB va EKUK

Ushbu darsda har qanday murakkab sonni tub «g‘ishtchalar»ga — tub ko‘paytuvchilarga ajratishni, so‘ng bu ajratish yordamida ikki sonning eng katta umumiy bo‘luvchisi (EKUB) va eng kichik umumiy karralisi (EKUK) ni topishni o‘rganamiz.

§1. Tub ko‘paytuvchilarga ajratish

Har bir murakkab sonni faqat tub sonlarning ko‘paytmasi shaklida yozish mumkin. Bu — matematikaning muhim faktlaridan biri.

Ta’rif. Sonni tub sonlar ko‘paytmasi shaklida yozish tub ko‘paytuvchilarga ajratish deyiladi. Masalan, $12 = 2\cdot 2\cdot 3 = 2^2\cdot 3$.

Ajratishni ustun usulida bajarish qulay: sonni eng kichik tub bo‘luvchiga ketma-ket bo‘lib boramiz.

Misol. $\;180$ ni tub ko‘paytuvchilarga ajrating.

Yechish. Ketma-ket bo‘lamiz:

$$180 : 2 = 90,\quad 90 : 2 = 45,\quad 45 : 3 = 15,\quad 15 : 3 = 5,\quad 5 : 5 = 1.$$

Demak:

$$180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5.$$

Javob. $180 = 2^2\cdot 3^2\cdot 5$.

§2. Eng katta umumiy bo‘luvchi (EKUB)

Ikki sonning ikkalasini ham bo‘ladigan sonlar — umumiy bo‘luvchilar. Ular ichida eng kattasi EKUB deyiladi.

Ta’rif. $a$ va $b$ sonlarining ikkalasini bo‘ladigan eng katta natural son ularning eng katta umumiy bo‘luvchisi deyiladi va $\operatorname{EKUB}(a,b)$ kabi belgilanadi.

Qoida. EKUB ni topish uchun sonlarni tub ko‘paytuvchilarga ajratamiz va umumiy tublarni eng kichik darajada olib ko‘paytiramiz.

Misol. $\;\operatorname{EKUB}(48, 60)$ ni toping.

Yechish. Ajratamiz:

$$48 = 2^4\cdot 3, \qquad 60 = 2^2\cdot 3\cdot 5.$$

Umumiy tublar $2$ va $3$. Eng kichik darajalari: $2^2$ va $3^1$.

$$\operatorname{EKUB}(48,60) = 2^2\cdot 3 = 12.$$

Javob. $12$.

Eslatma. Agar $\operatorname{EKUB}(a,b)=1$ bo‘lsa, bunday sonlar o‘zaro tub deyiladi. Masalan, $8$ va $15$ o‘zaro tub.

§3. Eng kichik umumiy karrali (EKUK)

Ikki sonning ikkalasiga ham bo‘linadigan sonlar — umumiy karralilar. Ular ichida eng kichigi EKUK deyiladi.

Ta’rif. $a$ va $b$ ga bo‘linadigan eng kichik natural son ularning eng kichik umumiy karralisi deyiladi va $\operatorname{EKUK}(a,b)$ kabi belgilanadi.

Qoida. EKUK ni topish uchun barcha uchragan tublarni eng katta darajada olib ko‘paytiramiz.

Misol. $\;\operatorname{EKUK}(48, 60)$ ni toping.

Yechish. Yana $48=2^4\cdot 3$, $60=2^2\cdot 3\cdot 5$. Barcha tublar: $2,3,5$. Eng katta darajalari $2^4, 3^1, 5^1$.

$$\operatorname{EKUK}(48,60) = 2^4\cdot 3\cdot 5 = 240.$$

Javob. $240$.

Savol. EKUB va EKUK o‘rtasida bog‘lanish bormi? Ha! Har doim quyidagi go‘zal tenglik o‘rinli:

$$\operatorname{EKUB}(a,b)\cdot \operatorname{EKUK}(a,b) = a\cdot b.$$

Tekshiramiz: $12\cdot 240 = 2880$ va $48\cdot 60 = 2880$. Mos keldi. Bu formula bilan EKUK ni topish uchun EKUB ni bilish yetarli.

Misol. $\;\operatorname{EKUB}(18,24)=6$ berilgan. $\operatorname{EKUK}(18,24)$ ni toping.

Yechish. Formuladan foydalanamiz:

$$\operatorname{EKUK} = \frac{18\cdot 24}{6} = \frac{432}{6} = 72.$$

Javob. $72$.

§ Lug‘at

Tub ko‘paytuvchi — prime factor

Ko‘paytuvchilarga ajratish — factorization

Eng katta umumiy bo‘luvchi (EKUB) — greatest common divisor (GCD)

Eng kichik umumiy karrali (EKUK) — least common multiple (LCM)

O‘zaro tub sonlar — coprime numbers

Daraja — power