Bo'linish belgilari, tub va murakkab sonlar

Ushbu darsda katta sonni bo‘lmasdan turib, uning bo‘linishini «ko‘rish» imkonini beradigan bo‘linish belgilari, hamda sonlarni ikki katta oilaga — tub va murakkab sonlarga ajratish haqida so‘z yuritamiz.

§1. Bo‘linish belgilari

Ba’zan katta sonni $2$ ga, $3$ ga yoki $5$ ga bo‘lish mumkinmi degan savolga bo‘lmasdan ham javob berish kerak bo‘ladi. Buning uchun bo‘linish belgilari yordam beradi.

Qoida. $\;2$ ga bo‘linish: son juft raqam ($0,2,4,6,8$) bilan tugasa. $\;5$ ga bo‘linish: son $0$ yoki $5$ bilan tugasa. $\;10$ ga bo‘linish: son $0$ bilan tugasa.

Qoida. $\;3$ ga bo‘linish: raqamlari yig‘indisi $3$ ga bo‘linsa. $\;9$ ga bo‘linish: raqamlari yig‘indisi $9$ ga bo‘linsa.

Misol. $\;4716$ soni $3$ ga va $9$ ga bo‘linadimi?

Yechish. Raqamlari yig‘indisini topamiz:

$$4+7+1+6 = 18.$$

$18$ ham $3$ ga, ham $9$ ga bo‘linadi.

Javob. $4716$ soni $3$ ga ham, $9$ ga ham bo‘linadi.

Savol. Nega $2$ ga bo‘linishni faqat oxirgi raqamga qarab aytamiz-u, $3$ ga bo‘linishni butun raqamlar yig‘indisiga qarab aytamiz? Chunki $10, 100, 1000$ o‘zi $2$ ga bo‘linadi, lekin $3$ ga bo‘linganda $1$ qoldiq beradi.

§2. Tub va murakkab sonlar

Har bir natural son kamida ikki bo‘luvchiga ega: $1$ ga va o‘ziga. Ana shu bo‘luvchilar soniga qarab sonlarni ajratamiz.

Ta’rif. $1$ dan katta va faqat ikkita bo‘luvchisi ($1$ va o‘zi) bo‘lgan son tub son deyiladi. Masalan, $2, 3, 5, 7, 11, 13$.

Ta’rif. Ikkitadan ortiq bo‘luvchisi bo‘lgan son murakkab son deyiladi. Masalan, $4$ ning bo‘luvchilari $1, 2, 4$ — demak $4$ murakkab son.

Eslatma. $1$ soni na tub, na murakkab hisoblanadi, chunki uning atigi bitta bo‘luvchisi bor. $2$ esa yagona juft tub sondir.

Misol. $\;17$ tub sonmi?

Yechish. $17$ ni $2$ va $3$ ga bo‘lib ko‘ramiz — bo‘linmaydi. $\sqrt{17}\approx 4{,}1$ bo‘lgani uchun faqat $4$ dan kichik tublarni tekshirish yetarli. $17$ ularning hech biriga bo‘linmaydi.

Javob. $17$ — tub son.

Misol. $\;51$ tub sonmi, murakkabmi?

Yechish. Raqamlar yig‘indisi $5+1=6$ — $3$ ga bo‘linadi. Demak:

$$51 = 3\cdot 17.$$

Uchta va undan ortiq bo‘luvchisi bor.

Javob. $51$ — murakkab son.

§3. Tub sonlarni topish — Eratosfen g‘alviri

Ma’lum bir chegaragacha barcha tub sonlarni topish uchun qadimgi olim Eratosfen usulini taklif qilgan: sonlarni yozib chiqib, tublarning karralilarini o‘chirib boramiz.

Misol. $\;1$ dan $20$ gacha tub sonlarni yozing.

Yechish. $2$ dan boshlaymiz, uning karralilarini ($4,6,8,\dots$) o‘chiramiz; so‘ng $3$ ning karralilarini o‘chiramiz va hokazo. Qolganlari:

$$2,\;3,\;5,\;7,\;11,\;13,\;17,\;19.$$

Javob. $20$ gacha $8$ ta tub son bor.

§ Lug‘at

Bo‘linish belgisi — divisibility rule

Tub son — prime number

Murakkab son — composite number

Bo‘luvchi — divisor

Karrali — multiple

Raqamlar yig‘indisi — digit sum