Chiziqli funksiya, uning grafigi va xossalari

Ushbu darsda eng sodda, ammo eng ko'p ishlatiladigan funksiya — chiziqli funksiya haqida so'z yuritamiz. Uning grafigi to'g'ri chiziq bo'lgani uchun uni tushunish barcha funksiyalarni o'rganishga poydevor bo'ladi.

§1. Boshlang'ich tushunchalar

Kundalik hayotda ko'p miqdorlar bir-biriga to'g'ri bog'liq: taksi haqi bosib o'tilgan yo'lga, oylik ish soatiga proporsional o'sadi. Bunday bog'lanishlarni chiziqli funksiya ifodalaydi.

Ta'rif. $y = kx + b$ ko'rinishdagi funksiya chiziqli funksiya deyiladi, bu yerda $k$ va $b$ — berilgan sonlar, $x$ — argument.

Bu yerda $k$ — burchak koeffitsienti (chiziqning qiyaligi), $b$ esa boshlang'ich qiymat, ya'ni chiziqning $Oy$ o'qini kesib o'tish nuqtasi. Agar $b = 0$ bo'lsa, $y = kx$ hosil bo'ladi — bu to'g'ri proporsionallik bo'lib, grafigi koordinata boshidan o'tadi.

Savol. Nega $k$ ni "qiyalik" deb ataymiz? Chunki $x$ bir birlikka o'sganda $y$ aynan $k$ ga o'zgaradi — chiziq shuncha "ko'tariladi" yoki "tushadi".

§2. Grafik va uning xossalari

Chiziqli funksiyaning grafigi — to'g'ri chiziq. To'g'ri chiziqni chizish uchun ikkita nuqta yetarli.

Chiziqli funksiyaning asosiy xossalari:

Qoida. Agar $k > 0$ bo'lsa, funksiya o'suvchi (chiziq yuqoriga qiya). Agar $k < 0$ bo'lsa, funksiya kamayuvchi (chiziq pastga qiya). Agar $k = 0$ bo'lsa, $y = b$ — gorizontal to'g'ri chiziq.

Aniqlanish sohasi — barcha haqiqiy sonlar: $D(y) = \mathbb{R}$. $k \ne 0$ bo'lganda qiymatlar sohasi ham $E(y) = \mathbb{R}$.

§3. Misollar

Misol. $y = 2x - 3$ funksiyaning grafigini yasang.
Yechish. Ikkita nuqta yetarli. $x = 0$ da $y = 2\cdot 0 - 3 = -3$; $x = 2$ da:

Demak $(0;-3)$ va $(2;1)$ nuqtalarni belgilab, ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz. $k = 2 > 0$ — chiziq o'suvchi.

Misol. $y = -\tfrac{1}{2}x + 4$ funksiya $Ox$ o'qini qaysi nuqtada kesadi?
Yechish. $Ox$ o'qida $y = 0$. Tenglama tuzamiz:

Javob. $(8; 0)$ nuqtada.

Misol. $A(1; 5)$ va $B(3; 11)$ nuqtalardan o'tuvchi chiziqli funksiyani toping.
Yechish. Burchak koeffitsientini topamiz:

Endi $y = 3x + b$ ga $A(1;5)$ ni qo'yamiz: $5 = 3\cdot 1 + b$, demak $b = 2$.

Javob. $y = 3x + 2$.

Eslatma. Ikki nuqta orqali qiyalikni topayotganda "ordinatalar ayirmasini abssissalar ayirmasiga bo'lish" tartibini buzmang — surat va maxrajni almashtirib qo'ysangiz, ishora teskari chiqadi. Grafik chizganda tanlagan nuqtalaringiz bir-biridan uzoqroq bo'lsa, chiziq aniqroq yotadi.

§ Lug'at

chiziqli funksiya — linear function
burchak koeffitsienti — slope
to'g'ri proporsionallik — direct proportionality
o'suvchi funksiya — increasing function
kamayuvchi funksiya — decreasing function
aniqlanish sohasi — domain
grafik — graph