Logarifmik funksiya va uning xossalari — nazariya, formulalar va misollar

Ushbu darsda ko'rsatkichli funksiyaga teskari bo'lgan logarifmik funksiya va uning xossalari haqida so'z yuritamiz. Logarifm — "qaysi darajaga ko'tarish kerak?" degan savolga javob beradigan amal.

§1. Boshlang'ich tushunchalar

Ta'rif. $y = \log_a x$ ko'rinishdagi funksiya logarifmik funksiya deyiladi, bu yerda $a > 0,\ a \ne 1$ — asos, $x > 0$ — argument.

$\log_a x$ — bu $a$ ni qaysi darajaga ko'tarsak $x$ chiqishini bildiradigan son. Ya'ni logarifm ko'rsatkichli $y = a^x$ funksiyaga teskari.

Qoida. Asosiy ayniyat: $\log_a x = y \iff a^y = x$ . Xususan $\log_a 1 = 0$ va $\log_a a = 1$ .

Savol. Nega $x$ har doim musbat? Chunki $a^y$ (musbat asosning istalgan darajasi) hech qachon nol yoki manfiy bo'lmaydi — demak logarifm faqat musbat sonlar uchun mavjud.

§2. Grafik va xossalari

Asos $a > 1$ bo'lgan logarifmik funksiyaning xossalari:

Qoida. $D(y) = (0; +\infty)$ , $E(y) = \mathbb{R}$ . Grafik $(1; 0)$ nuqtadan o'tadi. Agar $a > 1$ bo'lsa funksiya o'suvchi, agar $0 < a < 1$ bo'lsa kamayuvchi. $Oy$ o'qi — vertikal asimptota.

Logarifmning amaliy xossalari (bu yerda $x, y > 0$ ):

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y,

\log_a x^p = p\log_a x, \qquad \log_a x = \frac{\log_c x}{\log_c a}.

§3. Misollar

Misol. $\log_2 32$ ni hisoblang.
Yechish. $2$ ni qaysi darajaga ko'tarsak $32$ chiqadi? $32 = 2^5$ , demak:

\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5.

Javob. $5$ .

Misol. $\log_3 45 - \log_3 5$ ni hisoblang.
Yechish. Ayirmani bir logarifmga birlashtiramiz:

\log_3 45 - \log_3 5 = \log_3 \frac{45}{5} = \log_3 9 = 2.

Javob. $2$ .

Misol. $y = \log_5(x - 2)$ funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
Yechish. Logarifm ostidagi ifoda musbat bo'lishi shart:

x - 2 > 0 \implies x > 2.

Javob. $D(y) = (2; +\infty)$ .

Misol. $\log_2 100$ ni $\lg$ (o'nli logarifm) orqali ifodalang.
Yechish. Asosga o'tish formulasidan foydalanamiz:

\log_2 100 = \frac{\lg 100}{\lg 2} = \frac{2}{\lg 2}.

Javob. $\dfrac{2}{\lg 2}$ .

Eslatma. $\log_a x^p = p\log_a x$ xossasini qo'llashda daraja butun logarifmga tegishli ekaniga e'tibor bering: $\log_a x^2$ va $(\log_a x)^2$ butunlay boshqa narsa. Amaliy hisoblarda asos $10$ bo'lsa $\lg x$ , asos $e$ bo'lsa $\ln x$ deb qisqartiriladi.

§ Lug'at

logarifmik funksiya — logarithmic function
asos — base
o'nli logarifm — common logarithm
natural logarifm — natural logarithm
asimptota — asymptote
teskari funksiya — inverse function
qiymatlar sohasi — range

§1. Boshlang'ich tushunchalar

§2. Grafik va xossalari

§3. Misollar

§ Lug'at

Bu mavzuni mashq qilib ko'ring