Teskari trigonometrik funksiyalar

Ushbu darsda trigonometrik funksiyalarga teskari bo'lgan teskari trigonometrik funksiyalar — arksinus, arkkosinus, arktangens haqida so'z yuritamiz. Ular "sinusi shu songa teng bo'lgan burchak qaysi?" degan savolga javob beradi.

§1. Nega teskari funksiya kerak?

$\sin x = \dfrac{1}{2}$ tenglamaning cheksiz ko'p yechimi bor, chunki sinus davriy. Bittagina, aniq javob olish uchun burchakni ma'lum bir oraliqqa cheklaymiz.

Ta'rif. $\arcsin a$ — sinusi $a$ ga teng bo'lgan, $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ oraliqdagi yagona burchak. Bu yerda $-1 \le a \le 1$.

Ta'rif. $\arccos a$ — kosinusi $a$ ga teng bo'lgan, $[0;\ \pi]$ oraliqdagi yagona burchak; $\operatorname{arctg} a$ — tangensi $a$ ga teng bo'lgan, $\left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right)$ oraliqdagi yagona burchak.

Savol. Nega $\arcsin$ uchun aynan $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ tanlandi? Chunki shu oraliqda sinus qat'iy o'suvchi — har bir qiymatga bitta burchak mos keladi, ya'ni teskari funksiya bir qiymatli bo'ladi.

§2. Xossalari

Qoida. $y = \arcsin x$: $D = [-1; 1]$, $E = \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$, toq funksiya, o'suvchi. $y = \arccos x$: $D = [-1; 1]$, $E = [0; \pi]$, kamayuvchi. $y = \operatorname{arctg} x$: $D = \mathbb{R}$, $E = \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Qoida. Foydali ayniyatlar: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$, $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$, hamda

§3. Misollar

Misol. $\arcsin\dfrac{1}{2}$ ni toping.
Yechish. $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ oralig'ida sinusi $\dfrac{1}{2}$ ga teng burchakni izlaymiz:

Javob. $\dfrac{\pi}{6}$.

Misol. $\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ ni toping.
Yechish. Ayniyatdan foydalanamiz:

Javob. $\dfrac{2\pi}{3}$.

Misol. $\cos\left(\arcsin\dfrac{3}{5}\right)$ ni hisoblang.
Yechish. $\arcsin\dfrac{3}{5} = \alpha$ desak, $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ va $\alpha$ birinchi chorakda. U holda:

Javob. $\dfrac{4}{5}$.

Misol. $\operatorname{arctg} 1$ ni toping.
Yechish. $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ da tangensi $1$ ga teng burchak:

Javob. $\dfrac{\pi}{4}$.

Eslatma. Teskari trigonometrik funksiyaning javobi doim o'z qiymatlar sohasida yotishi kerak: $\arccos$ hech qachon manfiy bo'lmaydi (chunki $E=[0;\pi]$), $\arcsin$ esa $\dfrac{\pi}{2}$ dan oshmaydi. Manfiy argumentda $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$ formulasini ishlating — $-\arccos a$ deb yozish xato.

§ Lug'at

teskari trigonometrik funksiya — inverse trigonometric function
arksinus — arcsine
arkkosinus — arccosine
arktangens — arctangent
qiymatlar sohasi — range
bir qiymatli — single-valued
qat'iy monoton — strictly monotonic