Kvadrat funksiya — nazariya, formulalar va misollar

Ushbu darsda chiziqli funksiyadan keyingi qadam — kvadrat funksiya haqida so'z yuritamiz. Uning grafigi parabola bo'lib, tosh otganda uchgan yo'lidan tortib sun'iy yo'ldosh antennasigacha ko'p joyda uchraydi.

§1. Boshlang'ich tushunchalar

Ta'rif. $y = ax^2 + bx + c$ ko'rinishdagi funksiya kvadrat funksiya deyiladi, bu yerda $a \ne 0$ , $b$ va $c$ — berilgan sonlar.

Eng sodda holi $y = x^2$ ( $a=1,\ b=0,\ c=0$ ). Uning grafigi koordinata boshidan o'tadigan simmetrik egri chiziq — parabola.

Savol. Nega $a \ne 0$ bo'lishi shart? Chunki $a = 0$ bo'lsa $x^2$ yo'qoladi va funksiya oddiy chiziqli $y = bx + c$ ga aylanib qoladi.

§2. Parabola va uning uchi

Parabolaning eng muhim nuqtasi — uning uchi (cho'qqisi). Uch orqali simmetriya o'qi o'tadi.

Qoida. Parabolaning uchi $\left(x_0;\ y_0\right)$ quyidagicha topiladi:

x_0 = -\frac{b}{2a}, \qquad y_0 = y(x_0).

Simmetriya o'qi — $x = x_0$ vertikal to'g'ri chiziq.

Qoida. Agar $a > 0$ bo'lsa, parabolaning shoxlari yuqoriga qaraydi va uch — eng past nuqta (minimum). Agar $a < 0$ bo'lsa, shoxlar pastga qaraydi va uch — eng baland nuqta (maksimum).

§3. Misollar

Misol. $y = x^2 - 4x + 3$ parabolaning uchini toping.
Yechish. Bu yerda $a = 1,\ b = -4,\ c = 3$ . Uchning abssissasi:

x_0 = -\frac{-4}{2\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2.

Endi ordinatasini hisoblaymiz:

y_0 = 2^2 - 4\cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.

Javob. Uch $(2; -1)$ , minimum nuqta.

Misol. $y = x^2 - 4x + 3$ parabola $Ox$ o'qini qayerda kesadi?
Yechish. $y = 0$ deb, kvadrat tenglamani yechamiz:

x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0.

Demak $x = 1$ yoki $x = 3$ .

Javob. $(1;0)$ va $(3;0)$ nuqtalarda.

Misol. $y = -x^2 + 2x + 8$ funksiyaning eng katta qiymatini toping.
Yechish. $a = -1 < 0$ , shuning uchun uch — maksimum. Abssissa:

x_0 = -\frac{2}{2\cdot(-1)} = 1.

Qiymati:

y_0 = -(1)^2 + 2\cdot 1 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9.

Javob. Eng katta qiymat $9$ ga teng.

Eslatma. Uchning abssissasini topayotganda $-\dfrac{b}{2a}$ formulasidagi minus ishorasini unutmang: $b$ manfiy bo'lsa, ikki minus plusga aylanadi. Diskriminant $D = b^2 - 4ac$ ning ishorasi parabola $Ox$ o'qini necha marta kesishini aytadi: $D>0$ — ikki, $D=0$ — bir, $D<0$ — kesmaydi.

§ Lug'at

kvadrat funksiya — quadratic function
parabola — parabola
uch (cho'qqi) — vertex
simmetriya o'qi — axis of symmetry
diskriminant — discriminant
minimum — minimum
maksimum — maximum

§1. Boshlang'ich tushunchalar

§2. Parabola va uning uchi

§3. Misollar

§ Lug'at

Bu mavzuni mashq qilib ko'ring