Trigonometrik funksiyalar va ularning xossalari

Ushbu darsda burchak va davriy jarayonlarni tavsiflovchi trigonometrik funksiyalar — sinus, kosinus, tangens va kotangens hamda ularning xossalari haqida so'z yuritamiz. Ular to'lqin, tebranish va aylanma harakat bor joyda uchraydi.

§1. Birlik aylana va ta'riflar

Trigonometrik funksiyalarni birlik aylana (radiusi $1$, markazi koordinata boshida bo'lgan aylana) yordamida aniqlash qulay.

Ta'rif. Birlik aylanada $\alpha$ burchakka mos $P$ nuqtaning abssissasi $\cos\alpha$, ordinatasi $\sin\alpha$ deyiladi. Bundan $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ va $\operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Qoida. Asosiy trigonometrik ayniyat barcha $\alpha$ uchun o'rinli:

§2. Davriylik va asosiy xossalar

Ta'rif. Agar biror $T \ne 0$ son uchun barcha $x$ da $f(x+T) = f(x)$ bajarilsa, funksiya davriy, $T$ esa uning davri deyiladi.

Qoida. $\sin x$ va $\cos x$ ning asosiy davri $2\pi$, qiymatlar sohasi $[-1; 1]$. $\operatorname{tg} x$ va $\operatorname{ctg} x$ ning davri $\pi$, qiymatlar sohasi $\mathbb{R}$. $\sin x$, $\operatorname{tg} x$, $\operatorname{ctg} x$ — toq, $\cos x$ — juft funksiya.

Savol. Nega $\sin x$ hech qachon $1$ dan katta bo'lmaydi? Chunki u birlik aylanadagi nuqtaning ordinatasi — aylana esa $[-1; 1]$ chiziqlari orasida yotadi.

§3. Misollar

Misol. $\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$ va $\alpha$ birinchi chorakda bo'lsa, $\sin\alpha$ ni toping.
Yechish. Asosiy ayniyatdan:

Birinchi chorakda $\sin\alpha > 0$, shuning uchun $\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$.

Javob. $\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$.

Misol. $\sin\dfrac{7\pi}{6}$ ni hisoblang.
Yechish. $\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$, bu uchinchi chorakda, sinus manfiy:

Javob. $-\dfrac{1}{2}$.

Misol. $\operatorname{tg}\alpha = 2$ bo'lsa, $\dfrac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$ ni toping.
Yechish. Surat va maxrajni $\cos\alpha$ ga bo'lamiz:

Javob. $3$.

Eslatma. Chorak bo'yicha ishorani aniqlashda "hamma, sin, tg, cos musbat" tartibini eslang: I chorakda hammasi musbat, II da faqat $\sin$, III da $\operatorname{tg}$ va $\operatorname{ctg}$, IV da $\cos$. Keltirish formulalarida $\pi \pm \alpha$, $2\pi \pm \alpha$ da funksiya nomi o'zgarmaydi, $\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ da esa $\sin \leftrightarrow \cos$ almashadi.

§ Lug'at

birlik aylana — unit circle
sinus — sine
kosinus — cosine
tangens — tangent
davriy funksiya — periodic function
davr — period
trigonometrik ayniyat — trigonometric identity