Funksiya va uning xossalari

Ushbu darsda matematikaning markaziy tushunchalaridan biri — funksiya va uning asosiy xossalari haqida so'z yuritamiz. Funksiya — bir kattalikning ikkinchisiga bog'lanishini tasvirlaydigan "qoida" bo'lib, uni tushunish butun tahlilning kalitidir.

§1. Funksiya tushunchasi

Ta'rif. Agar $X$ to'plamdagi har bir $x$ elementga biror qoida bo'yicha $Y$ to'plamdan bittagina $y$ element mos qo'yilsa, bu moslik funksiya deyiladi va $y = f(x)$ kabi yoziladi.

Bu yerda $x$ — argument (erkin o'zgaruvchi), $y$ — funksiya qiymati (bog'liq o'zgaruvchi). Muhim shart: bitta $x$ ga faqat bitta $y$ mos kelishi kerak.

Savol. Doira chizig'i funksiyaning grafigi bo'la oladimi? Yo'q — chunki bitta $x$ ga aylananing ikkita nuqtasi (ikki $y$) to'g'ri keladi, bu ta'rifga ziddir.

§2. Aniqlanish va qiymatlar sohasi

Ta'rif. Argument $x$ qabul qila oladigan barcha qiymatlar to'plami — funksiyaning aniqlanish sohasi $D(f)$; funksiya qabul qiladigan barcha $y$ qiymatlar to'plami — qiymatlar sohasi $E(f)$.

Masalan $y = \dfrac{1}{x}$ da $x \ne 0$ (nolga bo'lib bo'lmaydi), $y = \sqrt{x}$ da esa $x \ge 0$ (ildiz osti nomanfiy).

§3. Asosiy xossalar

Funksiyalarni tekshirishda quyidagi xossalarga e'tibor beramiz: o'suvchi/kamayuvchi bo'lishi, juft/toq bo'lishi, nollari va davriyligi.

Qoida. Funksiya biror oraliqda o'suvchi deyiladi, agar $x_1 < x_2$ dan $f(x_1) < f(x_2)$ kelib chiqsa; kamayuvchi deyiladi, agar $x_1 < x_2$ dan $f(x_1) > f(x_2)$ kelib chiqsa.

Qoida. $f(-x) = f(x)$ bo'lsa funksiya juft (grafigi $Oy$ ga nisbatan simmetrik); $f(-x) = -f(x)$ bo'lsa toq (grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik).

§4. Misollar

Misol. $y = \dfrac{2x+1}{x-3}$ funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
Yechish. Maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak:

Javob. $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Misol. $f(x) = x^3$ funksiya juftmi yoki toqmi?
Yechish. $-x$ ni qo'yamiz:

Demak shart $f(-x) = -f(x)$ bajarildi.

Javob. Funksiya toq.

Misol. $f(x) = 2x - 5$ bo'lsa, $f(4)$ va qaysi $x$ da $f(x) = 1$ ekanini toping.
Yechish. Qiymatni hisoblaymiz:

Endi $f(x) = 1$ tenglamani yechamiz:

Javob. $f(4) = 3$; $f(x)=1$ da $x = 3$.

Eslatma. Aniqlanish sohasini topayotganda ikki asosiy "xavfli joy"ni tekshiring: maxrajning noli va juft darajali ildiz ostining manfiyligi. Juft/toqlikni aniqlashda avval $D(f)$ ning o'zi $0$ ga nisbatan simmetrik ekaniga ishonch hosil qiling — aks holda funksiya na juft, na toq bo'ladi.

§ Lug'at

funksiya — function
argument — argument
aniqlanish sohasi — domain
qiymatlar sohasi — range
juft funksiya — even function
toq funksiya — odd function
monotonlik — monotonicity