Trigonometriya

Keltirish formulalari. Sinuslar va kosinuslar teoremasi

2 daqiqa o'qish · 10 mashq

Ushbu darsda ikki muhim mavzu — keltirish formulalari (katta burchakni o‘tkir burchakka keltirish) va ixtiyoriy uchburchakni yechishga xizmat qiladigan sinuslar hamda kosinuslar teoremalari haqida so‘z yuritamiz.

§1. Keltirish formulalari

Ta’rif. 90∘±α90^\circ\pm\alpha, 180∘±α180^\circ\pm\alpha, 270∘±α270^\circ\pm\alpha, 360∘±α360^\circ\pm\alpha ko‘rinishdagi burchak funksiyasini α\alpha o‘tkir burchak funksiyasi orqali ifodalovchi tengliklar keltirish formulalari deyiladi.

Bu formulalar katta yoki manfiy burchakni har doim qulay o‘tkir burchakka "keltirib" beradi.

Qoida. Ishlash tartibi ikki qadamda:

  1. Nomi o‘zgaradimi? Agar burchak 90∘90^\circ yoki 270∘270^\circ (ya’ni vertikal o‘q) atrofida bo‘lsa, funksiya nomi almashadi: sin⁡↔cos⁡\sin\leftrightarrow\cos, tan⁡↔cot⁡\tan\leftrightarrow\cot. 180∘180^\circ va 360∘360^\circ da nom o‘zgarmaydi.
  2. Ishora qanday? Dastlabki funksiyaning berilgan chorakdagi ishorasini qo‘yamiz.

Savol. sin⁡(180∘−α)\sin(180^\circ-\alpha) ni qanday soddalashtiramiz? 180∘180^\circ atrofida nom o‘zgarmaydi; 180∘−α180^\circ-\alpha II chorakda va u yerda sin⁡\sin musbat. Demak, sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha.

Eng ko‘p qo‘llaniladigan formulalar:

sin⁡(90∘−α)=cos⁡α,cos⁡(90∘−α)=sin⁡α,\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\quad \cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha,
sin⁡(180∘−α)=sin⁡α,cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α,tan⁡(180∘+α)=tan⁡α.\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,\quad \tan(180^\circ+\alpha)=\tan\alpha.

Misol. cos⁡(90∘+α)\cos(90^\circ+\alpha) ni soddalashtiring.
Yechish. 90∘90^\circ atrofida nom o‘zgaradi: cos⁡→sin⁡\cos\to\sin. 90∘+α90^\circ+\alpha II chorakda, u yerda cos⁡\cos manfiy. Demak:

cos⁡(90∘+α)=−sin⁡α.\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha.

Javob. −sin⁡α-\sin\alpha.

Misol. sin⁡210∘\sin210^\circ ni keltirish formulasi bilan hisoblang.
Yechish. 210∘=180∘+30∘210^\circ=180^\circ+30^\circ. 180∘180^\circ da nom o‘zgarmaydi; 210∘210^\circ III chorakda, u yerda sin⁡\sin manfiy:

sin⁡210∘=−sin⁡30∘=−12.\sin210^\circ=-\sin30^\circ=-\frac{1}{2}.

Javob. −12-\dfrac{1}{2}.

§2. Kosinuslar teoremasi

Ixtiyoriy uchburchak uchun Pifagor teoremasining umumlashmasi.

A B C c b a

Qoida. $$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C. $$

Bu yerda CC burchak cc tomon qarshisida yotadi. Agar C=90∘C=90^\circ bo‘lsa, cos⁡90∘=0\cos90^\circ=0 va formula Pifagor teoremasiga aylanadi.

Misol. a=5a=5, b=8b=8, C=60∘C=60^\circ. cc tomonni toping.
Yechish. cos⁡60∘=12\cos60^\circ=\frac12 ni qo‘yamiz:

c2=52+82−2⋅5⋅8⋅12=25+64−40=49.c^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=25+64-40=49.
c=49=7.c=\sqrt{49}=7.

Javob. c=7c=7.

§3. Sinuslar teoremasi

Uchburchakda tomon va uning qarshisidagi burchak sinusi nisbati doimiy.

Qoida. $$ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R, $$

bu yerda RR — tashqi chizilgan aylana radiusi.

Misol. A=30∘A=30^\circ, B=45∘B=45^\circ, a=10a=10. bb tomonni toping.
Yechish. Sinuslar teoremasidan b=asin⁡Bsin⁡Ab=\dfrac{a\sin B}{\sin A}:

b=10⋅sin⁡45∘sin⁡30∘=10⋅2212=5212=102.b=\frac{10\cdot\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=\frac{10\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=\frac{5\sqrt2}{\frac12}=10\sqrt2.

Javob. b=102b=10\sqrt2.

Eslatma. Ikki tomon va ular orasidagi burchak berilsa — kosinuslar teoremasi qulay. Tomon va ikki burchak (yoki qarshi burchak) berilsa — sinuslar teoremasi qulay.

§ Lug‘at

keltirish formulalari — reduction formulas
kosinuslar teoremasi — law of cosines
sinuslar teoremasi — law of sines
uchburchak — triangle
tashqi chizilgan aylana — circumscribed circle
umumlashma — generalization

Bu mavzuni mashq qilib ko'ring

10 ta mashq savoli tayyor. Har bir savoldan keyin batafsil yechim ko'rsatiladi va natijangiz saqlanadi.

Mashqni boshlash