Fazoda to'g'ri chiziq va tekislik. Og'ma va proyeksiya

Stereometriya — fazoviy figuralar, ularning xossalari va o'lchamlarini o'rganuvchi geometriya bo'limi. Bu dars fazodagi asosiy obyektlar — nuqta, to'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro joylashuvi bilan tanishtiradi.

§1. Fazoning asosiy elementlari

Fazoda uchta asosiy figura mavjud: nuqta, to'g'ri chiziq va tekislik. Tekislikni odatda yunon harflari $\alpha, \beta, \gamma$ bilan belgilaymiz.

Ta'rif. Agar ikkita nuqta tekislikda yotsa, shu nuqtalardan o'tuvchi butun to'g'ri chiziq ham o'sha tekislikda yotadi.

Qoida. Tekislik quyidagi hollarda yagona aniqlanadi:

• bir to'g'ri chiziqda yotmagan uchta nuqta orqali;
• to'g'ri chiziq va undan tashqaridagi nuqta orqali;
• kesishuvchi ikki to'g'ri chiziq orqali;
• parallel ikki to'g'ri chiziq orqali.

§2. To'g'ri chiziqlarning o'zaro joylashuvi

Fazoda ikki to'g'ri chiziq: kesishishi, parallel bo'lishi yoki ayqash (bir tekislikda yotmasligi) mumkin.

Ta'rif. Bir tekislikda yotmaydigan, kesishmaydigan to'g'ri chiziqlar ayqash to'g'ri chiziqlar deyiladi.

Savol. Kub qirralari orasida ayqash juftliklar bormi?

Ha. Masalan, pastki asosning bir qirrasi va yuqori asosning unga perpendikulyar bo'lgan qirrasi ayqash bo'lishi mumkin.

§3. Og'ma, perpendikulyar va proyeksiya

Nuqtadan tekislikka tushirilgan kesmalarni ko'rib chiqamiz.

Ta'rif. $A$ nuqtadan $\alpha$ tekislikka tushirilgan perpendikulyar — bu $\alpha$ dagi barcha to'g'ri chiziqlarga tik bo'lgan $AO$ kesma ($O$ — asos). Xuddi shu nuqtadan chiqib tekislikni kesuvchi va perpendikulyar bo'lmagan $AB$ kesma og'ma deyiladi. $OB$ kesma esa og'maning proyeksiyasidir.

Qoida (uch perpendikulyar haqidagi teorema). Agar $\alpha$ tekislikdagi $\ell$ to'g'ri chiziq og'maning proyeksiyasi $OB$ ga perpendikulyar bo'lsa, u og'ma $AB$ ga ham perpendikulyar bo'ladi.

Misol. $A$ nuqta $\alpha$ tekislikdan $AO = 3$ masofada. Og'maning proyeksiyasi $OB = 4$. Og'ma $AB$ ni toping.

Yechish. $AOB$ uchburchak $O$ da to'g'ri burchakli. Pifagor teoremasi bo'yicha:

$$AB = \sqrt{AO^2 + OB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.$$

Javob. $AB = 5$.

Eslatma. Bir nuqtadan tushirilgan og'malardan proyeksiyasi kattarog'i uzunroq bo'ladi, teng proyeksiyali og'malar esa o'zaro teng.

Ta'rif. To'g'ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchak — og'ma bilan uning proyeksiyasi orasidagi burchakdir. Yuqoridagi misolda $\cos\varphi = \dfrac{OB}{AB} = \dfrac{4}{5}$.

§ Lug'at

• tekislik — plane
• to'g'ri chiziq — line
• og'ma — oblique (slant line)
• proyeksiya — projection
• perpendikulyar — perpendicular
• ayqash to'g'ri chiziqlar — skew lines