Shar va sfera

Shar va sfera — fazoning eng simmetrik jismlaridir. Bu darsda ularning ta'riflari, sfera yuzi va shar hajmi formulalari, hamda kesim xossalari o'rganiladi.

§1. Shar va sfera tushunchasi

Ta'rif. Sfera — fazoda berilgan $O$ nuqtadan (markaz) bir xil $R$ masofada joylashgan barcha nuqtalar to'plami. Shar esa sfera va uning ichidagi barcha nuqtalardan iborat jism. Ya'ni sfera — sirt, shar — to'la jism.

Ta'rif. Markazdan o'tuvchi kesma diametr $d = 2R$, markazni sirt bilan tutashtiruvchi kesma radius $R$ deyiladi.

§2. Sfera yuzi va shar hajmi

Qoida. Radiusi $R$ bo'lgan sferaning yuzi:

$$S = 4\pi R^2.$$

Sharning hajmi:

$$V = \frac{4}{3}\pi R^3.$$

Eslatma. Sfera yuzi $4\pi R^2$ shu radiusdagi katta doira yuzi $\pi R^2$ ning aynan 4 baravaridir.

§3. Sfera va tekislik

Qoida. Sfera va tekislikning o'zaro joylashuvi markazdan tekislikkacha masofa $d$ ga bog'liq:

• $d < R$ — tekislik sferani doira bo'ylab kesadi;
• $d = R$ — tekislik sferaga urinadi (bir nuqta);
• $d > R$ — umumiy nuqta yo'q.

Savol. Sferani markazidan o'tuvchi tekislik bilan kessak qanday doira hosil bo'ladi?

Radiusi $R$ ga teng katta doira — bu eng katta kesim.

Misol. Sfera radiusi $R = 3$. Uning yuzi va shar hajmini toping.

Yechish.

$$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi \approx 113.$$

$$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \approx 113.$$

Javob. $S = 36\pi$, $V = 36\pi$.

Misol. Sfera markazidan $d = 4$ masofada joylashgan tekislik uni kesib o'tadi. Sfera radiusi $R = 5$. Kesim doirasi radiusini toping.

Yechish. Kesim radiusi $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$.

Javob. $r = 3$.

§ Lug'at

• shar — ball (solid sphere)
• sfera — sphere (surface)
• radius — radius
• diametr — diameter
• katta doira — great circle
• urinma tekislik — tangent plane