Prizma va parallelepiped

Prizma — eng keng tarqalgan ko'pyoqliklardan biri. Bu darsda prizma turlari, parallelepiped hamda ularning sirt va hajm formulalari o'rganiladi.

§1. Prizma tushunchasi

Ta'rif. Prizma — ikkita teng va parallel ko'pburchak (asoslar) hamda ularni bog'lovchi parallelogramm yoqlar (yon yoqlar) bilan chegaralangan ko'pyoqlik.

Ta'rif. Agar yon qirralar asoslarga perpendikulyar bo'lsa, prizma to'g'ri, aks holda og'ma deyiladi. Asosida muntazam ko'pburchak yotgan to'g'ri prizma muntazam prizmadir.

§2. Prizma sirti va hajmi

Qoida. To'g'ri prizmaning yon sirti asos perimetri $P$ va balandlik $h$ ko'paytmasiga teng:

$$S_{yon} = P \cdot h.$$

To'liq sirt: $S_{to'liq} = S_{yon} + 2S_{asos}$.

Qoida. Har qanday prizmaning hajmi asos yuzi $S_{asos}$ va balandlik $h$ ko'paytmasiga teng:

$$V = S_{asos} \cdot h.$$

§3. Parallelepiped

Ta'rif. Asosida parallelogramm yotgan prizma parallelepiped deyiladi. Barcha yoqlari to'g'ri to'rtburchak bo'lsa — to'g'ri to'rtburchakli parallelepiped, hamma qirralari teng bo'lsa — kub.

Qoida. O'lchamlari $a, b, c$ bo'lgan to'g'ri to'rtburchakli parallelepiped uchun:

$$V = abc, \qquad S_{to'liq} = 2(ab + bc + ca),$$

$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \ (\text{fazoviy diagonal}).$$

Savol. Qirrasi $a$ bo'lgan kubning hajmi va diagonali qanday?

$V = a^3$, diagonal $d = a\sqrt{3}$.

Misol. To'g'ri prizma asosi katetlari $3$ va $4$ bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak, balandligi $h = 10$. Hajmi va yon sirtini toping.

Yechish. Asos yuzi: $S = \dfrac{1}{2}\cdot 3 \cdot 4 = 6$. Gipotenuza $= \sqrt{3^2+4^2}=5$, perimetr $P = 3+4+5 = 12$.

$$V = S\cdot h = 6 \cdot 10 = 60, \qquad S_{yon} = P\cdot h = 12 \cdot 10 = 120.$$

Javob. $V = 60$, $S_{yon} = 120$.

Eslatma. Og'ma prizmaning yon sirti perpendikulyar kesim perimetri bilan yon qirra ko'paytmasiga teng.

§ Lug'at

• prizma — prism
• parallelepiped — parallelepiped
• kub — cube
• asos — base
• yon sirt — lateral surface
• fazoviy diagonal — space diagonal