Ikki yoqli burchak va perpendikulyarlik

Bu darsda fazodagi burchaklarning muhim turi — ikki yoqli burchak, hamda to'g'ri chiziq va tekisliklarning perpendikulyarlik shartlari o'rganiladi.

§1. Ikki yoqli burchak

Ta'rif. Umumiy $\ell$ to'g'ri chiziqqa ega bo'lgan ikki yarim tekislik bilan chegaralangan fazoviy figura ikki yoqli burchak deyiladi. $\ell$ — qirra, yarim tekisliklar — yoqlar.

Ta'rif. Ikki yoqli burchakning chiziqli burchagi — qirraga perpendikulyar tekislik yoqlarni kesganda hosil bo'lgan burchak. Ikki yoqli burchak kattaligi shu chiziqli burchak bilan o'lchanadi.

Savol. Ikki yoqli burchakning kattaligi chiziqli burchak qirraning qaysi nuqtasida yasalganiga bog'liqmi?

Yo'q. Qirraning istalgan nuqtasida yasalgan chiziqli burchaklar o'zaro teng.

§2. To'g'ri chiziqning tekislikka perpendikulyarligi

Qoida (perpendikulyarlik alomati). Agar to'g'ri chiziq tekislikning bir nuqtasida kesishuvchi ikki to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u butun tekislikka perpendikulyar bo'ladi.

Eslatma. Tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziq shu tekislikda yotgan har qanday to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'ladi.

§3. Tekisliklarning perpendikulyarligi

Ta'rif. Agar ikki tekislik orasidagi ikki yoqli burchak to'g'ri ($90^\circ$) bo'lsa, tekisliklar perpendikulyar deyiladi: $\alpha \perp \beta$.

Qoida. Agar tekislik ikkinchi tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziqni o'z ichiga olsa, bu tekisliklar o'zaro perpendikulyardir.

Misol. Kubning yoni tomonining tekisligi bilan asos tekisligi orasidagi ikki yoqli burchak nechaga teng?

Yechish. Kubda yon qirralar asosga perpendikulyar. Yon yoq shunday qirrani o'z ichiga oladi, demak yon yoq asosga perpendikulyar. Chiziqli burchak $= 90^\circ$.

Javob. $90^\circ$.

Misol. To'g'ri to'rtburchakli parallelepipedda asos tomonlari $a = 6$, $b = 8$, balandligi $h = 10$. Diagonalining asos bilan burchagini toping.

Yechish. Asos diagonali $d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$. Fazoviy diagonalning proyeksiyasi $d$, balandligi $h$. Burchak tangensi:

$$\tan\varphi = \frac{h}{d} = \frac{10}{10} = 1 \;\Rightarrow\; \varphi = 45^\circ.$$

Javob. $45^\circ$.

§ Lug'at

• ikki yoqli burchak — dihedral angle
• chiziqli burchak — linear angle
• qirra — edge
• yoq — face
• perpendikulyarlik — perpendicularity
• yarim tekislik — half-plane