Piramida

Piramida — asosi ko'pburchak, yon yoqlari umumiy uchga ega uchburchaklardan iborat ko'pyoqlik. Bu dars piramida elementlari, sirti va hajmini o'rgatadi.

§1. Piramida tushunchasi

Ta'rif. Piramida — ko'pburchak asos va uning tekisligidan tashqaridagi bir nuqta (uch) ni asos uchlari bilan tutashtiruvchi uchburchaklardan tashkil topgan ko'pyoqlik. Uchdan asos tekisligiga tushirilgan perpendikulyar balandlik deyiladi.

Ta'rif. Asosida muntazam ko'pburchak yotgan va balandligi asos markazidan o'tuvchi piramida muntazam deyiladi. Uning yon yoqlari teng yonli uchburchaklar bo'lib, ularning balandligi apofema deb ataladi.

§2. Piramida sirti

Qoida. Muntazam piramidaning yon sirti asos perimetri $P$ ning yarmi bilan apofema $l$ ko'paytmasiga teng:

$$S_{yon} = \frac{1}{2} P \cdot l.$$

To'liq sirt: $S_{to'liq} = S_{yon} + S_{asos}$.

§3. Piramida hajmi

Qoida. Har qanday piramidaning hajmi asos yuzi $S_{asos}$ va balandlik $h$ ko'paytmasining uchdan biriga teng:

$$V = \frac{1}{3} S_{asos} \cdot h.$$

Savol. Nega piramida hajmi bir xil asos va balandlikka ega prizma hajmidan 3 marta kichik?

Chunki kubni teng hajmli uchta piramidaga ajratish mumkin — shundan $\frac{1}{3}$ koeffitsiyenti kelib chiqadi.

Misol. Muntazam to'rtburchakli piramida asos tomoni $a = 6$, balandligi $h = 4$. Hajmi va to'liq sirtini toping.

Yechish. Asos yuzi: $S_{asos} = a^2 = 36$.

$$V = \frac{1}{3}\cdot 36 \cdot 4 = 48.$$

Apofema: $l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$. Perimetr $P = 4a = 24$.

$$S_{yon} = \frac{1}{2}\cdot 24 \cdot 5 = 60, \qquad S_{to'liq} = 60 + 36 = 96.$$

Javob. $V = 48$, $S_{to'liq} = 96$.

Eslatma. Kesik piramida — piramidani asosga parallel tekislik bilan kesib olingan qism. Uning hajmi:

$$V = \frac{h}{3}\left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\right).$$

§ Lug'at

• piramida — pyramid
• uch — apex
• apofema — apothem (slant height)
• balandlik — height
• kesik piramida — frustum
• muntazam piramida — regular pyramid