Konus

Konus — to'g'ri burchakli uchburchakni uning katetlaridan biri atrofida aylantirishdan hosil bo'ladigan aylanish jismi. Bu darsda konusning yasovchisi, sirti va hajmi ko'rib chiqiladi.

§1. Konus tushunchasi

Ta'rif. Konus — doira (asos) va shu doiradan tashqaridagi bir nuqta (uch) ni asos aylanasi nuqtalari bilan tutashtiruvchi yon sirt bilan chegaralangan jism. Uchdan asos markaziga tushirilgan kesma balandlik $h$, uchdan asos aylanasigacha bo'lgan kesma yasovchi $l$ deyiladi.

Qoida. Konus radiusi $R$, balandligi $h$ va yasovchisi $l$ o'zaro Pifagor munosabati bilan bog'langan:

$$l = \sqrt{R^2 + h^2}.$$

§2. Konus sirti

Konusning yon sirtini yoyib yozsak, radiusi $l$ va yoy uzunligi $2\pi R$ bo'lgan doira sektori hosil bo'ladi.

Qoida. Konusning yon sirti:

$$S_{yon} = \pi R l.$$

To'liq sirt asos yuzini qo'shadi:

$$S_{to'liq} = \pi R l + \pi R^2 = \pi R(l + R).$$

§3. Konus hajmi

Qoida. Konus hajmi bir xil asos va balandlikka ega silindr hajmining uchdan biriga teng:

$$V = \frac{1}{3}\pi R^2 h.$$

Savol. Konusning o'qiy kesimi qanday figuradan iborat?

Asosi $2R$ va balandligi $h$ bo'lgan teng yonli uchburchak.

Misol. Konus radiusi $R = 6$, balandligi $h = 8$. Yasovchisini, yon sirtini va hajmini toping.

Yechish. Yasovchi:

$$l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.$$

Yon sirt:

$$S_{yon} = \pi R l = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi \approx 188.$$

Hajmi:

$$V = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi \approx 301.$$

Javob. $l = 10$, $S_{yon} = 60\pi$, $V = 96\pi$.

Eslatma. Kesik konus — konusni asosga parallel tekislik bilan kesib olingan qism. Uning hajmi radiuslari $R_1, R_2$ orqali:

$$V = \frac{\pi h}{3}\left(R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2\right).$$

§ Lug'at

• konus — cone
• uch — apex
• yasovchi — slant height (generatrix)
• balandlik — height
• kesik konus — truncated cone (frustum)
• o'qiy kesim — axial section