Fazoviy jismlar hajmi va sirti

Bu yakuniy dars barcha asosiy fazoviy jismlarning hajm va sirt formulalarini bir tizimga jamlaydi hamda aralash masalalarni yechishni mashq qildiradi.

§1. Hajm va sirtning asosiy tamoyillari

Ta'rif. Jismning hajmi — u egallagan fazo miqdorining o'lchovi (birligi $m^3$). Sirti esa jismni chegaralovchi yuzalar yig'indisi (birligi $m^2$).

Qoida (Kavalyeri tamoyili). Agar ikki jism bir xil balandlikda joylashgan bo'lib, asosga parallel har qanday tekislik ularni teng yuzli kesimlar bo'yicha kessa, ularning hajmlari teng bo'ladi.

§2. Formulalar jadvali

Qoida. Asosiy jismlarning hajmi ($V$) va sirti:

• Parallelepiped: $V = abc$, $S = 2(ab+bc+ca)$.
• Prizma: $V = S_{asos}\cdot h$, $S_{yon} = P\cdot h$.
• Piramida: $V = \dfrac{1}{3}S_{asos}\cdot h$, $S_{yon} = \dfrac{1}{2}P\cdot l$.
• Silindr: $V = \pi R^2 h$, $S_{yon} = 2\pi R h$.
• Konus: $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$, $S_{yon} = \pi R l$.
• Shar/sfera: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$, $S = 4\pi R^2$.

Eslatma. Piramida va konus hajmida $\dfrac{1}{3}$ koeffitsiyenti bor — ular mos prizma va silindr hajmining uchdan biriga teng.

§3. Aralash masalalar

Savol. Shar silindr ichiga aniq joylashgan (urinib turadi). Ularning hajmlari nisbati qancha?

Bunda $h = 2R$. Silindr $V_s = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3$, shar $V_{sh} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Nisbat $\dfrac{V_{sh}}{V_s} = \dfrac{2}{3}$ (Arximed natijasi).

Misol. Balandligi $h = 12$, asos radiusi $R = 5$ bo'lgan konusga teng balandlik va radiusli silindr yasaldi. Silindr hajmi konus hajmidan qancha ortiq?

Yechish.

$$V_{kon} = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi.$$

$$V_{sil} = \pi R^2 h = \pi \cdot 25 \cdot 12 = 300\pi.$$

Farq: $300\pi - 100\pi = 200\pi$, ya'ni silindr 3 marta katta.

Javob. $200\pi$ ga ortiq (3 baravar).

Misol. Qirrasi $a = 4$ bo'lgan kub ichiga eng katta shar joylashtirildi. Sharning hajmini toping.

Yechish. Shar diametri kub qirrasiga teng: $2R = 4 \Rightarrow R = 2$.

$$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32}{3}\pi \approx 33{,}5.$$

Javob. $V = \dfrac{32}{3}\pi \approx 33{,}5$.

§ Lug'at

• hajm — volume
• sirt — surface area
• yon sirt — lateral surface
• ichki chizilgan — inscribed
• tashqi chizilgan — circumscribed
• Kavalyeri tamoyili — Cavalieri's principle