Arifmetik progressiya

Ushbu darsda sonlar ketma-ketligining eng oddiy va eng ko‘p uchraydigan turi — arifmetik progressiya haqida so‘z yuritamiz. Bunday ketma-ketlikda har bir keyingi son oldingisidan bir xil miqdorga farq qiladi, xuddi zinapoyaning pog‘onalari kabi bir tekis ko‘tarilib boradi.

§1. Ketma-ketlik va progressiya tushunchasi

Avvalo, ketma-ketlik nima ekanini eslaylik. Sonlar ma’lum tartibda yozilgan bo‘lsa, ularni ketma-ketlik deymiz: $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ Bu yerda $a_1$ — birinchi had, $a_n$ — $n$-had.

Ta’rif. Agar ketma-ketlikning har bir hadi (birinchisidan tashqari) oldingi hadga bir xil sonni qo‘shish orqali hosil qilinsa, bunday ketma-ketlik arifmetik progressiya deyiladi. Qo‘shiladigan o‘sha son ayirma deyiladi va $d$ harfi bilan belgilanadi.

Demak, ta’rifga ko‘ra $a_{n+1} = a_n + d$. Bundan $d = a_{n+1} - a_n$, ya’ni ayirmani topish uchun istalgan haddan oldingisini ayirsak bo‘ldi.

Savol. Agar $d > 0$ bo‘lsa progressiya o‘sadimi yoki kamayadimi? Har bir hadga musbat son qo‘shilyaptimi — demak, ketma-ketlik o‘sib boradi. $d < 0$ da esa kamayadi.

Misol. $3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \dots$ ketma-ketlik arifmetik progressiyami? Ayirmasini toping.
Yechish. Qo‘shni hadlar ayirmasini tekshiramiz:

Har joyda bir xil son chiqdi, demak bu arifmetik progressiya.

Javob. Ha, $d = 4$.

§2. $n$-had formulasi

Progressiyaning uzoq hadini topish uchun bir-bir qo‘shib borish noqulay. Buning uchun umumiy formula bor. Birinchi haddan boshlab: $a_2 = a_1 + d$, $a_3 = a_1 + 2d$, $a_4 = a_1 + 3d$. Naqsh ko‘rinib turibdi — $n$-hadga kelib $a_1$ ga $d$ ni $(n-1)$ marta qo‘shamiz.

Qoida. Arifmetik progressiyaning $n$-hadi formulasi:

Misol. $a_1 = 5$, $d = 3$ bo‘lgan progressiyaning $20$-hadini toping.
Yechish. Formulaga qo‘yamiz:

Javob. $a_{20} = 62$.

Misol. Progressiyaning $a_3 = 14$ va $a_7 = 30$. Birinchi hadi va ayirmasini toping.
Yechish. Formuladan ikki tenglama tuzamiz:

Ikkinchisidan birinchisini ayiramiz:

Endi $a_1 + 2\cdot 4 = 14$ dan $a_1 = 14 - 8 = 6$.

Javob. $a_1 = 6$, $d = 4$.

§3. O‘rta had xossasi

Arifmetik progressiyaning chiroyli bir xossasi bor: istalgan had (chetkilaridan tashqari) o‘zining ikki qo‘shnisining o‘rta arifmetigiga teng.

Qoida. Har qanday ichki had uchun:

Buni tekshirish oson: $a_{n-1} = a_n - d$ va $a_{n+1} = a_n + d$, ularni qo‘shsak $2a_n$ chiqadi.

Misol. $x,\ 10,\ 16$ sonlari arifmetik progressiya bo‘lsa, $x$ ni toping.
Yechish. $10$ o‘rtada, demak u qo‘shnilarining o‘rta arifmetigi:

Javob. $x = 4$.

Eslatma. Masala shartida uchta ketma-ket noma’lum son berilib, ular progressiya deyilsa, deyarli har doim o‘rta had xossasidan foydalanish eng qisqa yo‘l bo‘ladi.

§ Lug‘at

arifmetik progressiya — arithmetic progression
ayirma — common difference
had — term
ketma-ketlik — sequence
o‘rta arifmetik — arithmetic mean
$n$-had formulasi — formula for the nth term