Funksiyani hosila yordamida tekshirish

Ushbu darsda hosilaning eng foydali qo‘llanishlaridan birini — funksiyaning xatti-harakatini o‘rganishni ko‘rib chiqamiz. Hosila yordamida funksiya qayerda o‘sishi, qayerda kamayishini va eng katta yoki eng kichik qiymatlarga qayerda erishishini aniqlay olamiz.

§1. O‘sish va kamayish

Hosila funksiyaning o‘zgarish tezligini o‘lchaydi, demak uning ishorasi funksiyaning ko‘tarilishi yoki pasayishini ko‘rsatadi.

Qoida. Agar biror oraliqda $f'(x) > 0$ bo‘lsa, funksiya shu oraliqda o‘suvchi bo‘ladi. Agar $f'(x) < 0$ bo‘lsa, funksiya kamayuvchi bo‘ladi.

Savol. Nega ishora tezlikni bildiradi? Chunki hosila musbat bo‘lsa, funksiya qiymati $x$ ortishi bilan ko‘payadi — grafik ko‘tariladi. Manfiy bo‘lsa, aksincha, grafik pasayadi.

Misol. $f(x) = x^2 - 6x + 5$ funksiya qaysi oraliqlarda o‘sadi va kamayadi?
Yechish. Hosilani topamiz va ishorasini tekshiramiz:

Demak $x > 3$ da funksiya o‘sadi, $x < 3$ da kamayadi.

Javob. $(-\infty; 3)$ da kamayuvchi, $(3; +\infty)$ da o‘suvchi.

§2. Kritik nuqtalar va ekstremum

Funksiya kamayishdan o‘sishga (yoki aksincha) o‘tadigan nuqtalar alohida ahamiyatga ega. Bunday nuqtalarda funksiya eng kichik yoki eng katta qiymatga erishadi.

Ta’rif. Hosila nolga aylanadigan ($f'(x) = 0$) yoki mavjud bo‘lmaydigan nuqtalar kritik nuqtalar deyiladi. Funksiya eng katta (maksimum) yoki eng kichik (minimum) qiymatga erishadigan nuqtalar esa ekstremum nuqtalari deyiladi.

Qoida. Ekstremumni aniqlash uchun kritik nuqtadan o‘tishda hosila ishorasini tekshiramiz: ishora $+$ dan $-$ ga o‘zgarsa — maksimum; ishora $-$ dan $+$ ga o‘zgarsa — minimum.

Misol. $f(x) = x^3 - 3x$ funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping.
Yechish. Avval hosilani nolga tenglaymiz:

Ishorani tekshiramiz. $x = -1$ da: chapda ($x=-2$) $f'>0$, o‘ngda ($x=0$) $f'<0$ — ishora $+$ dan $-$ ga o‘zgardi, demak maksimum. $x = 1$ da: chapda $f'<0$, o‘ngda ($x=2$) $f'>0$ — minimum. Qiymatlarni hisoblaymiz:

Javob. $x=-1$ da maksimum $y=2$; $x=1$ da minimum $y=-2$.

§3. Kesmadagi eng katta va eng kichik qiymat

Eslatma. Kesmada eng katta/eng kichik qiymatni izlaganda faqat kritik nuqtalarni emas, kesmaning ikki chetini ham tekshiring — ko‘pincha eng chekka qiymat aynan uchlarda bo‘ladi.

Misol. $f(x) = x^2 - 4x + 1$ funksiyaning $[0;\ 3]$ kesmadagi eng kichik va eng katta qiymatini toping.
Yechish. Hosila: $f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ — kesma ichida. Uch nuqtada qiymatlarni hisoblaymiz:

Javob. Eng kichik qiymat $-3$ ($x=2$ da), eng katta qiymat $1$ ($x=0$ da).

§ Lug‘at

o‘suvchi funksiya — increasing function
kamayuvchi funksiya — decreasing function
kritik nuqta — critical point
ekstremum — extremum
maksimum — maximum
minimum — minimum