Matematik analiz

Boshlang'ich funksiya va integral

3 daqiqa o'qish · 10 mashq

Ushbu darsda hosilaga teskari amal — integrallash bilan tanishamiz. Hosilalash funksiyadan uning o‘zgarish tezligini topsa, integrallash aksincha: tezlik ma’lum bo‘lganda funksiyaning o‘zini tiklaydi. Bu, xuddi bo‘lish ko‘paytirishga teskari bo‘lgani kabi, hosilalashga teskari amaldir.

§1. Boshlang‘ich funksiya

Ta’rif. F(x)F(x) funksiya f(x)f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi, agar F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) bo‘lsa. Ya’ni boshlang‘ich funksiyani hosilalasak, berilgan funksiya chiqishi kerak.

Masalan, f(x)=2xf(x) = 2x uchun F(x)=x2F(x) = x^2 boshlang‘ich funksiya, chunki (x2)′=2x(x^2)' = 2x.

Savol. Boshlang‘ich funksiya yagonami? Yo‘q. x2+5x^2 + 5 ning ham hosilasi 2x2x, x2−7x^2 - 7 niki ham shunday — chunki o‘zgarmasning hosilasi nol. Demak boshlang‘ich funksiyalar cheksiz ko‘p, ular bir-biridan faqat o‘zgarmas songa farq qiladi.

Ta’rif. f(x)f(x) ning barcha boshlang‘ich funksiyalari to‘plami uning aniqmas integrali deyiladi:

∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x) + C

bu yerda CC — ixtiyoriy o‘zgarmas (integrallash doimiysi).

Eslatma. Integral javobiga +C+C qo‘shishni hech qachon unutmang — usiz javob to‘liq bo‘lmaydi. Aynan shu CC boshlang‘ich funksiyaning yagona emasligini aks ettiradi.

§2. Asosiy integrallar jadvali

Qoida. Eng ko‘p ishlatiladigan integrallar (har biriga +C+C qo‘shiladi):

∫xn dx=x n+1n+1+C(n≠−1),∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + C\quad (n \ne -1),\qquad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C
∫cos⁡x dx=sin⁡x+C,∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C,∫ex dx=ex+C\int \cos x\,dx = \sin x + C,\qquad \int \sin x\,dx = -\cos x + C,\qquad \int e^x\,dx = e^x + C

Daraja integrali eng muhim: darajani birga oshiramiz va yangi darajaga bo‘lamiz — bu daraja hosilasiga aynan teskari harakat.

Misol. ∫x3 dx\int x^3\,dx ni toping.
Yechish. Daraja qoidasi bilan n=3n = 3:

∫x3 dx=x 3+13+1+C=x44+C\int x^3\,dx = \frac{x^{\,3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C

Javob. x44+C\dfrac{x^4}{4} + C.

§3. Integrallash qoidalari va misollar

Qoida. O‘zgarmas ko‘paytuvchini integral tashqarisiga chiqarish va yig‘indini hadma-had integrallash mumkin:

∫C⋅f(x) dx=C∫f(x) dx,∫(f±g) dx=∫f dx±∫g dx\int C\cdot f(x)\,dx = C\int f(x)\,dx,\qquad \int\big(f \pm g\big)\,dx = \int f\,dx \pm \int g\,dx

Misol. ∫(6x2−4x+3) dx\int (6x^2 - 4x + 3)\,dx ni toping.
Yechish. Har bir hadni alohida integrallaymiz:

∫6x2 dx−∫4x dx+∫3 dx=6⋅x33−4⋅x22+3x+C=2x3−2x2+3x+C\int 6x^2\,dx - \int 4x\,dx + \int 3\,dx = 6\cdot\frac{x^3}{3} - 4\cdot\frac{x^2}{2} + 3x + C = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C

Javob. 2x3−2x2+3x+C2x^3 - 2x^2 + 3x + C.

Misol. f(x)=3x2f(x) = 3x^2 ning F(1)=5F(1) = 5 shartni qanoatlantiruvchi boshlang‘ich funksiyasini toping.
Yechish. Avval umumiy ko‘rinishini topamiz:

F(x)=∫3x2 dx=3⋅x33+C=x3+CF(x) = \int 3x^2\,dx = 3\cdot\frac{x^3}{3} + C = x^3 + C

Shartdan CC ni aniqlaymiz: F(1)=13+C=5⇒C=4F(1) = 1^3 + C = 5 \Rightarrow C = 4.

Javob. F(x)=x3+4F(x) = x^3 + 4.

Misol. ∫(sin⁡x+1x)dx\int \left(\sin x + \dfrac{1}{x}\right)dx ni toping.
Yechish. Jadvaldan foydalanamiz:

∫sin⁡x dx+∫1x dx=−cos⁡x+ln⁡∣x∣+C\int \sin x\,dx + \int \frac{1}{x}\,dx = -\cos x + \ln|x| + C

Javob. −cos⁡x+ln⁡∣x∣+C-\cos x + \ln|x| + C.

§ Lug‘at

boshlang‘ich funksiya — antiderivative
aniqmas integral — indefinite integral
integrallash — integration
integral doimiysi — constant of integration
teskari amal — inverse operation
integral ostidagi funksiya — integrand

Bu mavzuni mashq qilib ko'ring

10 ta mashq savoli tayyor. Har bir savoldan keyin batafsil yechim ko'rsatiladi va natijangiz saqlanadi.

Mashqni boshlash