Geometrik progressiya

Ushbu darsda arifmetik progressiyaning ko‘paytma bo‘yicha ukasi — geometrik progressiya haqida so‘z yuritamiz. Arifmetik progressiyada har safar bir xil son qo‘shilgan bo‘lsa, bu yerda har safar bir xil songa ko‘paytiramiz. Shu bois u ancha tez o‘sadi yoki kamayadi.

§1. Ta’rif va maxraj

Ta’rif. Agar ketma-ketlikning har bir hadi (birinchisidan tashqari) oldingi hadni nolga teng bo‘lmagan bir xil songa ko‘paytirish orqali hosil qilinsa, bunday ketma-ketlik geometrik progressiya deyiladi. O‘sha ko‘paytiruvchi son maxraj deyiladi va $q$ harfi bilan belgilanadi.

Demak $b_{n+1} = b_n \cdot q$, bundan $q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}$, ya’ni maxrajni topish uchun istalgan haddan oldingisiga bo‘lamiz.

Misol. $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \dots$ geometrik progressiyami? Maxrajini toping.
Yechish. Qo‘shni hadlar nisbatini tekshiramiz:

Har joyda bir xil son — demak bu geometrik progressiya.

Javob. Ha, $q = 3$.

Savol. Agar $0 < q < 1$ bo‘lsa progressiya qanday o‘zgaradi? Har safar birdan kichik songa ko‘paytiryapmiz — demak hadlar kichrayib, nolga yaqinlashib boradi. Masalan $8, 4, 2, 1, \tfrac12, \dots$

§2. $n$-had formulasi

Birinchi haddan boshlaymiz: $b_2 = b_1 q$, $b_3 = b_1 q^2$, $b_4 = b_1 q^3$. Naqsh aniq — $n$-hadga kelib $b_1$ ni $q$ ga $(n-1)$ marta ko‘paytiramiz.

Qoida. Geometrik progressiyaning $n$-hadi formulasi:

Misol. $b_1 = 5$, $q = 2$ bo‘lgan progressiyaning $6$-hadini toping.
Yechish. Formulaga qo‘yamiz:

Javob. $b_6 = 160$.

§3. Yig‘indi va o‘rta had

Dastlabki $n$ ta hadni qo‘shish uchun ham formula bor (bu yerda $q \ne 1$).

Qoida. Dastlabki $n$ ta had yig‘indisi:

Misol. $3, 6, 12, \dots$ progressiyaning dastlabki $5$ ta hadi yig‘indisini toping.
Yechish. Bu yerda $b_1 = 3$, $q = 2$, $n = 5$:

Javob. $S_5 = 93$.

Geometrik progressiyada ham o‘rta had xossasi bor, faqat o‘rta arifmetik o‘rniga o‘rta geometrik ishlatiladi.

Qoida. Har bir ichki had uchun:

Misol. $4,\ x,\ 25$ sonlari geometrik progressiya bo‘lsa, musbat $x$ ni toping.
Yechish. O‘rta had xossasidan:

Javob. $x = 10$.

Eslatma. $|q| < 1$ bo‘lgan cheksiz geometrik progressiyada barcha hadlar yig‘indisi chekli songa intiladi: $S = \dfrac{b_1}{1 - q}$. Masalan $1 + \tfrac12 + \tfrac14 + \dots = \dfrac{1}{1 - \frac12} = 2$.

§ Lug‘at

geometrik progressiya — geometric progression
maxraj — common ratio
o‘rta geometrik — geometric mean
nisbat — ratio
cheksiz yig‘indi — infinite sum
daraja — power