Hosilaning geometrik va mexanik ma'nosi — nazariya, formulalar va misollar

Ushbu darsda hosila tushunchasiga ikki tomondan qaraymiz: geometrik — grafikka o‘tkazilgan urinma nuqtai nazaridan, va mexanik — harakat tezligi nuqtai nazaridan. Bu ikki ma’no hosilaning nima uchun shunchalik kuchli va foydali ekanini ochib beradi.

§1. Geometrik ma’no: urinma burchak koeffitsiyenti

Funksiya grafigining biror nuqtasiga urinma to‘g‘ri chiziq o‘tkazsak, uning qanchalik qiya ekanini burchak koeffitsiyenti belgilaydi. Ma’lum bo‘lishicha, aynan shu koeffitsiyent hosilaga teng.

Qoida. $f(x)$ funksiyaning $x_0$ nuqtadagi hosilasi shu nuqtadagi grafikka o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentiga teng:

k = f'(x_0) = \tan\alpha

bu yerda $\alpha$ — urinmaning $Ox$ o‘qi bilan hosil qilgan burchagi.

Savol. Nega hosila aynan urinma qiyaligiga teng? Chunki hosila $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ nisbatining limiti edi. $\Delta x \to 0$ da kesuvchi to‘g‘ri chiziq urinmaga aylanadi, uning qiyaligi esa hosilaga teng bo‘ladi.

Qoida. $x_0$ nuqtadagi urinma tenglamasi:

y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0)

Misol. $f(x) = x^2$ funksiyaning $x_0 = 1$ nuqtadagi urinma tenglamasini toping.
Yechish. Avval kerakli qiymatlarni hisoblaymiz: $f(1) = 1$ , hosila $f'(x) = 2x$ , demak $f'(1) = 2$ . Urinma tenglamasiga qo‘yamiz:

y = 1 + 2(x - 1) = 1 + 2x - 2 = 2x - 1

Javob. $y = 2x - 1$ .

Misol. $f(x) = x^3$ grafigiga $x_0 = 2$ nuqtada o‘tkazilgan urinma qanday burchak koeffitsiyentiga ega?
Yechish. Hosila $f'(x) = 3x^2$ , uni $x_0=2$ da hisoblaymiz:

k = f'(2) = 3\cdot 2^2 = 3\cdot 4 = 12

Javob. $k = 12$ .

§2. Mexanik ma’no: tezlik va tezlanish

Hosilaning tarixiy kelib chiqishi harakat bilan bog‘liq. Jism bosib o‘tgan yo‘l vaqt funksiyasi $s(t)$ bilan berilsa, uning tezligi — yo‘lning vaqt bo‘yicha hosilasi.

Qoida. Harakat qonuni $s(t)$ bo‘lsa: tezlik $v(t) = s'(t)$ (yo‘lning hosilasi); tezlanish $a(t) = v'(t) = s''(t)$ (tezlikning hosilasi).

Eslatma. Tezlik — yo‘lning birinchi hosilasi, tezlanish esa ikkinchi hosilasi. Ya’ni tezlanishni topish uchun yo‘lni ketma-ket ikki marta hosilalash kifoya.

Misol. Jismning harakat qonuni $s(t) = 3t^2 + 2t$ (metrda). $t = 4$ s dagi tezlikni toping.
Yechish. Tezlik — yo‘lning hosilasi:

v(t) = s'(t) = 6t + 2

v(4) = 6\cdot 4 + 2 = 24 + 2 = 26\ \text{m/s}

Javob. $v(4) = 26$ m/s.

Misol. $s(t) = t^3 - 2t^2$ harakatda $t = 3$ s dagi tezlanishni toping.
Yechish. Avval tezlik, so‘ng tezlanishni topamiz:

v(t) = s'(t) = 3t^2 - 4t,\qquad a(t) = v'(t) = 6t - 4

a(3) = 6\cdot 3 - 4 = 18 - 4 = 14\ \text{m/s}^2

Javob. $a(3) = 14$ m/s $^2$ .

§ Lug‘at

urinma — tangent line
burchak koeffitsiyenti — slope
geometrik ma’no — geometric meaning
mexanik ma’no — mechanical meaning
tezlik — velocity
tezlanish — acceleration

§1. Geometrik ma’no: urinma burchak koeffitsiyenti

§2. Mexanik ma’no: tezlik va tezlanish

§ Lug‘at

Bu mavzuni mashq qilib ko'ring