Hosila. Sodda funksiyalar hosilasi — nazariya, formulalar va misollar

Ushbu darsda oliy matematikaning eng muhim tushunchalaridan biri — hosila bilan tanishamiz. Hosila funksiyaning qanchalik tez o‘zgarishini, ya’ni uning o‘zgarish tezligini o‘lchaydi. Avval g‘oyani tushunamiz, so‘ng sodda funksiyalarni tez hosilalashni o‘rganamiz.

§1. Hosila g‘oyasi: o‘zgarish tezligi

Tasavvur qiling, avtomobil harakatlanmoqda. $t$ vaqtdagi bosib o‘tgan yo‘li $s(t)$ funksiya bilan berilgan. Ma’lum bir onda tezlik qancha? Buni topish uchun kichik $\Delta t$ vaqt oralig‘ida yo‘l orttirmasi $\Delta s$ ni vaqt orttirmasiga bo‘lamiz: $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ . Bu — o‘rtacha tezlik.

Savol. Aniq bir ondagi tezlikni qanday topamiz? $\Delta t$ ni tobora kichraytirib, nolga intiltiramiz. Ana o‘sha chegaraviy qiymat aniq ondagi tezlik — ya’ni hosiladir.

Ta’rif. $f(x)$ funksiyaning $x$ nuqtadagi hosilasi — argument orttirmasi nolga intilgandagi funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatining limiti:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Hosila $f'(x)$ yoki $y'$ ko‘rinishida belgilanadi. Har safar limitni hisoblash noqulay, shu bois tayyor jadval va qoidalardan foydalanamiz.

§2. Asosiy hosilalar jadvali

Qoida. Eng ko‘p ishlatiladigan hosilalar:

(C)' = 0,\qquad (x)' = 1,\qquad (x^n)' = n\,x^{\,n-1}

(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad (\sin x)' = \cos x,\qquad (\cos x)' = -\sin x

(e^x)' = e^x,\qquad (\ln x)' = \frac{1}{x}

Bu yerda $C$ — o‘zgarmas son. Darajaning hosilasi eng muhim: darajani old koeffitsiyentga tushiramiz, so‘ng darajani birga kamaytiramiz.

Misol. $y = x^5$ funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Daraja qoidasini qo‘llaymiz:

y' = 5\,x^{\,5-1} = 5x^4

Javob. $y' = 5x^4$ .

§3. Hosilalash qoidalari

Murakkabroq ifodalarni hosilalash uchun quyidagi qoidalar kerak.

Qoida. Yig‘indi, ko‘paytma va bo‘linmaning hosilasi:

(u \pm v)' = u' \pm v',\qquad (C\cdot u)' = C\cdot u'

(u\cdot v)' = u'v + uv',\qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Eslatma. Yig‘indini hadma-had hosilalash mumkin, lekin ko‘paytmani shunday hosilalab bo‘lmaydi — albatta ko‘paytma qoidasini qo‘llang. Bu eng ko‘p yo‘l qo‘yiladigan xatolardan biri.

Misol. $y = 3x^4 - 2x^2 + 7x - 5$ funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Har bir hadni alohida hosilalaymiz:

y' = 3\cdot 4x^3 - 2\cdot 2x + 7\cdot 1 - 0 = 12x^3 - 4x + 7

Javob. $y' = 12x^3 - 4x + 7$ .

Misol. $y = x^2 \cdot \sin x$ funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Ko‘paytma qoidasi bo‘yicha $u = x^2$ , $v = \sin x$ :

y' = (x^2)'\sin x + x^2(\sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x

Javob. $y' = 2x\sin x + x^2\cos x$ .

Misol. $y = \dfrac{x}{x+1}$ funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Bo‘linma qoidasi bo‘yicha $u = x$ , $v = x+1$ :

y' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1\cdot(x+1) - x\cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}

Javob. $y' = \dfrac{1}{(x+1)^2}$ .

§ Lug‘at

hosila — derivative
limit — limit
orttirma — increment
o‘zgarish tezligi — rate of change
hosilalash — differentiation
daraja qoidasi — power rule

§1. Hosila g‘oyasi: o‘zgarish tezligi

§2. Asosiy hosilalar jadvali

§3. Hosilalash qoidalari

§ Lug‘at

Bu mavzuni mashq qilib ko'ring