Aniq integral va egri chiziqli trapetsiya yuzi

Ushbu darsda integralning eng go‘zal qo‘llanishlaridan birini — egri chiziq bilan chegaralangan shaklning yuzini hisoblashni o‘rganamiz. Oddiy geometriya to‘g‘ri chiziqli shakllar yuzini topa oladi, aniq integral esa egri chiziqli shakllar yuzini ham hisoblashga imkon beradi.

§1. Egri chiziqli trapetsiya

Ta’rif. $y = f(x)$ funksiya grafigi, $Ox$ o‘qi va $x = a$, $x = b$ to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan shakl egri chiziqli trapetsiya deyiladi (bu yerda $f(x) \ge 0$).

Savol. Bunday egri tomonli shaklning yuzini qanday topamiz? Uni ko‘plab ingichka to‘g‘ri to‘rtburchaklarga bo‘lib chiqamiz. To‘rtburchaklar qancha ingichka bo‘lsa, ularning umumiy yuzi haqiqiy yuzga shuncha yaqinlashadi — ana shu chegaraviy yig‘indi aniq integraldir.

§2. Nyuton–Leybnits formulasi

Aniq integral $\int_a^b f(x)\,dx$ ko‘rinishida yoziladi, bu yerda $a$ — quyi chegara, $b$ — yuqori chegara. Uni hisoblashning ajoyib qulay yo‘li bor.

Qoida. Nyuton–Leybnits formulasi: agar $F(x)$ funksiya $f(x)$ ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda

Ya’ni boshlang‘ich funksiyani topamiz, so‘ng uning yuqori va quyi chegaralardagi qiymatlari ayirmasini olamiz.

Qoida. Egri chiziqli trapetsiya yuzi ($f(x) \ge 0$ bo‘lganda):

Eslatma. Aniqmas integraldan farqli o‘laroq, aniq integralda $+C$ yozilmaydi — chunki $F(b) - F(a)$ ayirmasida doimiy $C$ o‘zaro qisqaradi. Natija esa aniq son bo‘ladi.

§3. Misollar

Misol. $\int_1^3 2x\,dx$ ni hisoblang.
Yechish. Boshlang‘ich funksiya $F(x) = x^2$. Nyuton–Leybnits formulasini qo‘llaymiz:

Javob. $8$.

Misol. $y = x^2$ egri chizig‘i, $Ox$ o‘qi va $x = 0$, $x = 2$ chiziqlar bilan chegaralangan shakl yuzini toping.
Yechish. Yuza aniq integralga teng, boshlang‘ich funksiya $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$:

Javob. $S = \dfrac{8}{3}$ kv. birlik.

Misol. $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ ni hisoblang.
Yechish. Boshlang‘ich funksiya $F(x) = -\cos x$:

Javob. $2$.

Misol. $y = 3x^2 + 1$ chizig‘i ostidagi, $x = 0$ dan $x = 2$ gacha bo‘lgan yuzani toping.
Yechish. Boshlang‘ich funksiya $F(x) = x^3 + x$:

Javob. $S = 10$ kv. birlik.

Misol. Ikki egri chiziq $y = x$ va $y = x^2$ orasidagi yuzani $[0;\,1]$ da toping.
Yechish. Yuqoridagi chiziqdan pastdagisini ayirib integrallaymiz ($[0;1]$ da $x \ge x^2$):

Javob. $S = \dfrac{1}{6}$ kv. birlik.

§ Lug‘at

aniq integral — definite integral
egri chiziqli trapetsiya — curvilinear trapezoid
integral chegaralari — limits of integration
yuza — area
Nyuton–Leybnits formulasi — Newton–Leibniz formula
quyi va yuqori chegara — lower and upper limit