Arifmetik progressiya yig'indisi

Ushbu darsda arifmetik progressiyaning dastlabki bir necha hadini qanday qilib tez qo‘shish mumkinligi haqida so‘z yuritamiz. Yuzlab hadni birma-bir qo‘shib o‘tirish shart emas — bir necha qadamda topib beruvchi ajoyib formula mavjud.

§1. Gauss usuli — g‘oyaning kelib chiqishi

Rivoyatga ko‘ra, mashhur matematik Karl Gauss bolaligida $1$ dan $100$ gacha sonlarni qo‘shishni juda tez uddalagan. U hiyla topgan edi: sonlarni ikki uchidan qarama-qarshi qilib juftlab chiqqan.

Har bir juft $101$ ga teng, juftlar soni esa $50$ ta. Demak:

Savol. Nega har bir juft bir xil songa teng bo‘ldi? Chunki bir uchdagi son qancha ortsa, ikkinchi uchdagi son shuncha kamayadi — yig‘indi o‘zgarmaydi. Aynan shu g‘oya umumiy formulaning asosida yotadi.

§2. Yig‘indi formulalari

Gauss usulini har qanday arifmetik progressiyaga qo‘llasak, birinchi va oxirgi hadning yig‘indisiga hadlar sonining yarmini ko‘paytiramiz.

Qoida. Dastlabki $n$ ta had yig‘indisi:

Agar oxirgi had $a_n$ noma’lum bo‘lsa, uning o‘rniga $a_n = a_1 + (n-1)d$ qo‘yamiz va ikkinchi ko‘rinishga kelamiz:

Qoida. Ayirma orqali yig‘indi:

Eslatma. Birinchi formulani $a_1$ va $a_n$ ma’lum bo‘lganda, ikkinchisini $a_1$ va $d$ ma’lum bo‘lganda ishlating. Ikkalasi ham bir xil natija beradi.

§3. Misollar

Misol. $2, 5, 8, 11, \dots$ progressiyaning dastlabki $10$ ta hadi yig‘indisini toping.
Yechish. Bu yerda $a_1 = 2$, $d = 3$, $n = 10$. Ikkinchi formuladan:

Javob. $S_{10} = 155$.

Misol. $a_1 = 7$, $a_n = 43$, $n = 13$ bo‘lsa, yig‘indini toping.
Yechish. Birinchi va oxirgi had ma’lum, demak birinchi formula qulay:

Javob. $S_{13} = 325$.

Misol. $1$ dan $99$ gacha bo‘lgan toq sonlar yig‘indisini toping.
Yechish. Toq sonlar $1, 3, 5, \dots, 99$ — bu $a_1 = 1$, $d = 2$ bo‘lgan progressiya. Avval nechta had borligini topamiz:

Endi yig‘indini hisoblaymiz:

Javob. $S_{50} = 2500$.

Misol. Progressiyada $a_1 = 4$, $d = 2$. Nechta had qo‘shilsa yig‘indi $130$ bo‘ladi?
Yechish. Ikkinchi formulaga qo‘yamiz va tenglama yechamiz:

Kvadrat tenglamani yechamiz: $n = \dfrac{-3 + \sqrt{9 + 520}}{2} = \dfrac{-3 + 23}{2} = 10$.

Javob. $n = 10$ ta had.

§ Lug‘at

yig‘indi — sum
dastlabki n ta had — first n terms
Gauss usuli — Gauss's method
juftlash — pairing
toq son — odd number
kvadrat tenglama — quadratic equation