Murakkab funksiya hosilasi

Ushbu darsda funksiya ichida yana funksiya joylashgan holatlar — murakkab funksiyalarni hosilalashni o‘rganamiz. Bunday funksiyalar amalda juda ko‘p uchraydi, masalan $\sin(2x)$ yoki $(3x+1)^5$. Ularni to‘g‘ri hosilalash uchun zanjir qoidasi kerak bo‘ladi.

§1. Murakkab funksiya nima?

Ta’rif. Agar $y$ funksiya $u$ orqali, $u$ esa o‘z navbatida $x$ orqali berilgan bo‘lsa, ya’ni $y = f(u)$ va $u = g(x)$, u holda $y = f(g(x))$ funksiya murakkab funksiya deyiladi. Bu yerda $f$ — tashqi funksiya, $g$ — ichki funksiya.

Masalan $y = (3x+1)^5$ da tashqi funksiya — beshinchi daraja, ichki funksiya esa $3x+1$. Xuddi ikkita mashina bir-biriga ulangan kabi: avval $x$ ichki funksiyaga kiradi, chiqqan natija tashqi funksiyaga uzatiladi.

Savol. Nega oddiy daraja qoidasini to‘g‘ridan-to‘g‘ri qo‘llab bo‘lmaydi? Chunki daraja ostida shunchaki $x$ emas, balki butun bir ifoda turibdi. Ichki funksiyaning o‘z o‘zgarishini ham hisobga olishimiz shart.

§2. Zanjir qoidasi

Qoida. Murakkab funksiyaning hosilasi tashqi funksiya hosilasini ichki funksiya hosilasiga ko‘paytirishga teng:

Ya’ni: avval tashqi funksiyani hosilalaymiz (ichkini o‘zgarmagan holda saqlab), so‘ng ichki funksiya hosilasiga ko‘paytiramiz.

Eslatma. Zanjir qoidasini "tashqaridan ichkariga" qatlam-qatlam qo‘llang va oxirida ichki funksiya hosilasini ko‘paytirishni unutmang — aynan shu ko‘paytiruvchi eng ko‘p tushib qolib xatoga sabab bo‘ladi.

§3. Misollar

Misol. $y = (3x+1)^5$ funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Tashqi funksiya — beshinchi daraja, ichki funksiya $u = 3x+1$, uning hosilasi $u' = 3$:

Javob. $y' = 15(3x+1)^4$.

Misol. $y = \sin(2x)$ funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Tashqi funksiya $\sin$, ichki funksiya $u = 2x$, $u' = 2$:

Javob. $y' = 2\cos(2x)$.

Misol. $y = \sqrt{x^2 + 9}$ funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Tashqi funksiya — kvadrat ildiz, ichki funksiya $u = x^2 + 9$, $u' = 2x$. $(\sqrt{u})' = \dfrac{1}{2\sqrt{u}}$ ekanini eslaymiz:

Javob. $y' = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}$.

Misol. $y = e^{\,4x-1}$ funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Tashqi funksiya $e^u$, ichki funksiya $u = 4x-1$, $u' = 4$. $(e^u)' = e^u$ bo‘lgani uchun:

Javob. $y' = 4e^{\,4x-1}$.

Misol. $y = \cos^3 x$, ya’ni $(\cos x)^3$ funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Tashqi funksiya — kub, ichki funksiya $u = \cos x$, $u' = -\sin x$:

Javob. $y' = -3\cos^2 x\,\sin x$.

§ Lug‘at

murakkab funksiya — composite function
zanjir qoidasi — chain rule
tashqi funksiya — outer function
ichki funksiya — inner function
qatlam — layer
ko‘paytiruvchi — multiplier