Daraja va uning xossalari, darajali ifodalar

Ushbu darsda matematikaning eng ko‘p uchraydigan amallaridan biri — darajaga oshirish bilan tanishamiz. Daraja bir xil ko‘paytuvchilarni qisqa yozishning qulay usuli bo‘lib, uning xossalarini bilsak, murakkab ifodalar bir zumda soddalashadi.

§1. Daraja tushunchasi

Ko‘paytirish — bir xil qo‘shiluvchilarni qisqa yozish edi: $5+5+5 = 3\cdot 5$. Xuddi shunday, bir xil ko‘paytuvchilarni qisqa yozish uchun daraja ishlatiladi.

Ta’rif. $a$ sonining $n$-darajasi deb, $n$ ta $a$ ko‘paytuvchining ko‘paytmasiga aytiladi:

$$a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{n\ \text{ta}}$$

Bu yerda $a$ — daraja asosi, $n$ — daraja ko‘rsatkichi (natural son).

Masalan, $2^5 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 32$. Bunda $a^1 = a$ deb kelishilgan, ya’ni bitta ko‘paytuvchining o‘zi.

Savol. $(-3)^2$ va $-3^2$ bir xilmi? Aslo emas! Birinchisida asos $-3$, ya’ni $(-3)\cdot(-3)=9$; ikkinchisida esa faqat $3$ darajaga oshadi, so‘ng minus qo‘yiladi: $-(3^2)=-9$.

Misol. $(-2)^4$ va $(-2)^3$ ni hisoblang.
Yechish. Manfiy sonning juft darajasi musbat, toq darajasi manfiy bo‘ladi:

$$(-2)^4 = 16, \qquad (-2)^3 = -8$$

Javob. $16$ va $-8$.

§2. Darajaning asosiy xossalari

Endi bir xil asosli darajalar ustida amallarni tez bajarishga yordam beradigan qoidalarni ko‘ramiz. Ularning barchasi ta’rifdan tabiiy kelib chiqadi.

Qoida. Bir xil asosli darajalarda:

$$a^m\cdot a^n = a^{m+n}, \qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

Darajani darajaga oshirishda ko‘rsatkichlar ko‘paytiriladi, ko‘paytma va bo‘linmani darajaga oshirishda esa har bir ko‘paytuvchi darajaga oshadi:

$$(a^m)^n = a^{mn}, \quad (ab)^n = a^n b^n, \quad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$$

Nima uchun $a^m\cdot a^n = a^{m+n}$? Chunki chapda $m$ ta, o‘ngda $n$ ta ko‘paytuvchi bor, jami $m+n$ ta.

Misol. $a^3\cdot a^5$ ni soddalashtiring.
Yechish.

$$a^3\cdot a^5 = a^{3+5} = a^8$$

Javob. $a^8$.

Misol. $\dfrac{7^{10}}{7^{6}}$ ni hisoblang.
Yechish.

$$\dfrac{7^{10}}{7^{6}} = 7^{10-6} = 7^4 = 2401$$

Javob. $2401$.

Misol. $(2x^2)^3$ ni soddalashtiring.
Yechish. Har bir ko‘paytuvchini darajaga oshiramiz:

$$(2x^2)^3 = 2^3\cdot (x^2)^3 = 8x^{6}$$

Javob. $8x^6$.

§3. Nol va manfiy ko‘rsatkichli daraja

Xossalar amal qilishda davom etishi uchun ko‘rsatkichni nol va manfiy sonlarga ham kengaytiramiz.

Qoida. Ixtiyoriy $a\neq 0$ uchun:

$$a^0 = 1, \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$$

Buni tushunish oson: $\dfrac{a^m}{a^m}=a^{m-m}=a^0$, ammo bir xil son o‘ziga bo‘linsa $1$ chiqadi. Demak $a^0=1$.

Misol. $5^{-2}$ va $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}$ ni hisoblang.
Yechish.

$$5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}, \qquad \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1} = \dfrac{3}{2}$$

Manfiy ko‘rsatkich kasrni ag‘daradi.
Javob. $\dfrac{1}{25}$ va $\dfrac{3}{2}$.

Eslatma. $0^0$ ifodasi aniqlanmagan, shuningdek $0$ ni manfiy darajaga oshirib bo‘lmaydi (nolga bo‘lish paydo bo‘ladi). Shu bois manfiy ko‘rsatkichli xossalarda asos har doim noldan farqli bo‘lishi shart.

§ Lug‘at

daraja — power / exponent
daraja asosi — base
daraja ko‘rsatkichi — exponent / index
darajaga oshirish — exponentiation
darajali ifoda — exponential expression
manfiy ko‘rsatkich — negative exponent