Algebraik kasrlar

Ushbu darsda algebraik kasrlar — surat va maxrajida ko‘phadlar turgan ifodalar bilan tanishamiz. Ular oddiy sonli kasrlarga juda o‘xshaydi, faqat sonlar o‘rniga harfli ifodalar turadi.

§1. Algebraik kasr tushunchasi

$\dfrac{3}{5}$ — oddiy kasr. Agar surat yoki maxrajga $x$ ni kiritsak, masalan $\dfrac{x+1}{x-2}$, algebraik kasr hosil bo‘ladi.

Ta’rif. Algebraik kasr — surati va maxraji ko‘phadlardan iborat bo‘lgan $\dfrac{P}{Q}$ ko‘rinishdagi ifoda, bunda $Q \ne 0$.

Eslatma. Maxraj hech qachon nolga teng bo‘lmasligi kerak. Shuning uchun har bir algebraik kasr uchun uning mumkin bo‘lgan qiymatlar sohasi aniqlanadi: maxrajni nolga aylantiradigan $x$ qiymatlari chiqarib tashlanadi.

Misol. $\dfrac{x+1}{x-2}$ kasr qaysi $x$ larda ma’noga ega?

Yechish. Maxraj nolga teng bo‘lmasligi shart: $x-2 \ne 0$, ya’ni $x \ne 2$.

Javob. $x \ne 2$ bo‘lgan barcha sonlarda.

§2. Kasrni qisqartirish

Sonli kasrni qisqartirganda surat va maxrajni umumiy bo‘luvchiga bo‘lamiz. Algebraik kasrda esa umumiy ko‘paytuvchiga bo‘lamiz — shu sababli o‘tgan darsdagi ko‘paytuvchilarga ajratish shu yerda ish beradi.

Qoida. $\dfrac{a\cdot c}{b\cdot c} = \dfrac{a}{b}$ (bunda $c \ne 0$). Umumiy ko‘paytuvchi qisqaradi.

Misol. $\dfrac{x^2-9}{x^2+3x}$ kasrni qisqartiring.

Yechish. Surat va maxrajni ko‘paytuvchilarga ajratamiz:

$$\frac{x^2-9}{x^2+3x} = \frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)} = \frac{x-3}{x}$$

$(x+3)$ umumiy ko‘paytuvchi qisqardi.

Javob. $\dfrac{x-3}{x}$.

§3. Qo‘shish va ayirish

Kasrlarni qo‘shish uchun ularni umumiy maxrajga keltirish kerak — xuddi $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$ da bo‘lgani kabi.

Qoida. $\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}$. Maxrajlar har xil bo‘lsa, avval umumiy maxrajga keltiring.

Misol. $\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x+1}$ ni bitta kasr ko‘rinishida yozing.

Yechish. Umumiy maxraj $x(x+1)$. Har bir kasrni shu maxrajga keltiramiz:

$$\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)} + \frac{3x}{x(x+1)} = \frac{2x+2+3x}{x(x+1)} = \frac{5x+2}{x(x+1)}$$

Javob. $\dfrac{5x+2}{x(x+1)}$.

§4. Ko‘paytirish va bo‘lish

Qoida. Ko‘paytirishda suratni suratga, maxrajni maxrajga ko‘paytiramiz. Bo‘lishda esa ikkinchi kasrni ag‘darib ko‘paytiramiz:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}, \qquad \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$

Misol. $\dfrac{x}{x+2} : \dfrac{x^2}{x+2}$ ni hisoblang.

Yechish. Bo‘lishni ko‘paytirishga aylantiramiz:

$$\frac{x}{x+2} : \frac{x^2}{x+2} = \frac{x}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x^2} = \frac{x(x+2)}{(x+2)x^2} = \frac{1}{x}$$

Javob. $\dfrac{1}{x}$.

Savol. Nega bo‘lishda kasr ag‘dariladi? Chunki bo‘lish — ko‘paytirishga teskari amal, teskari songa (kasrga) ko‘paytirish esa aynan bo‘lish demakdir.

§ Lug‘at

algebraik kasr — algebraic fraction
surat — numerator
maxraj — denominator
qisqartirish — reduction (simplifying)
umumiy maxraj — common denominator
mumkin bo‘lgan qiymatlar sohasi — domain of definition
teskari son — reciprocal