Ko'paytuvchilarga ajratish

Ushbu darsda ko‘phadlarni sodda ko‘paytuvchilarga qanday yoyish, ya’ni yig‘indi ko‘rinishidagi ifodani ko‘paytma ko‘rinishiga keltirish haqida so‘z yuritamiz. Bu amal tenglamalar yechishda va kasrlarni qisqartirishda kalit rol o‘ynaydi.

§1. Ko‘paytuvchilarga ajratish nima?

Ko‘paytirsak $2(x+3) = 2x+6$ hosil bo‘ladi. Teskari yo‘nalishda harakat qilsak — $2x+6$ ni qaytadan $2(x+3)$ ko‘rinishiga keltirsak — bu ko‘paytuvchilarga ajratish bo‘ladi.

Ta’rif. Ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish — uni bir nechta ko‘phad (yoki ko‘phad va son) ko‘paytmasi ko‘rinishida yozishdir.

Savol. Nega ko‘paytma ko‘rinishi qulay? Chunki ko‘paytma nolga teng bo‘lsa, hech bo‘lmasa bitta ko‘paytuvchi nolga teng bo‘ladi — bu tenglama ildizlarini topishning eng oson yo‘li.

§2. Umumiy ko‘paytuvchini qavsdan chiqarish

Eng birinchi va eng muhim usul — barcha hadlarda takrorlanadigan umumiy ko‘paytuvchini topib, uni qavsdan tashqariga chiqarishdir.

Qoida. $ab + ac = a(b+c)$. Bu yerda $a$ — umumiy ko‘paytuvchi.

Misol. $6x^2 + 9x$ ni ko‘paytuvchilarga ajrating.

Yechish. Sonli qism uchun EKUB$(6,9)=3$, harfiy qismda ikkala hadda ham $x$ bor. Demak umumiy ko‘paytuvchi $3x$:

$$6x^2 + 9x = 3x\cdot 2x + 3x\cdot 3 = 3x(2x+3)$$

Javob. $3x(2x+3)$.

§3. Guruhlash usuli

To‘rt hadli ifodalarda umumiy ko‘paytuvchi barcha hadlarda bo‘lmasligi mumkin. U holda hadlarni guruhlarga ajratamiz.

Misol. $x^3 + x^2 + 3x + 3$ ni ko‘paytuvchilarga ajrating.

Yechish. Birinchi ikki hadni va oxirgi ikki hadni guruhlaymiz:

$$(x^3+x^2) + (3x+3) = x^2(x+1) + 3(x+1)$$

Endi $(x+1)$ umumiy ko‘paytuvchi bo‘ldi:

$$x^2(x+1) + 3(x+1) = (x+1)(x^2+3)$$

Javob. $(x+1)(x^2+3)$.

§4. Qisqa ko‘paytirish formulalari yordamida

Ba’zi ifodalar mashhur formulalarga mos keladi va shu formulalar orqali darhol yoyiladi.

Qoida. Ayirmaning kvadrati va ikki ifoda kvadratlari ayirmasi:

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b), \qquad a^2 \pm 2ab + b^2 = (a\pm b)^2$$

Misol. $x^2 - 25$ ni ko‘paytuvchilarga ajrating.

Yechish. Bu ikki kvadratning ayirmasi, chunki $25 = 5^2$:

$$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$$

Javob. $(x-5)(x+5)$.

Misol. $x^2 + 6x + 9$ ni ko‘paytuvchilarga ajrating.

Yechish. $9 = 3^2$ va $6x = 2\cdot x\cdot 3$, demak to‘la kvadrat:

$$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$$

Javob. $(x+3)^2$.

Eslatma. Har doim avval umumiy ko‘paytuvchini qavsdan chiqarishga urinib ko‘ring, keyingina formulalarga o‘ting. Masalan $2x^2-8 = 2(x^2-4) = 2(x-2)(x+2)$ — bir emas, ikki qadam kerak.

§ Lug‘at

ko‘paytuvchilarga ajratish — factoring
umumiy ko‘paytuvchi — common factor
guruhlash — grouping
qisqa ko‘paytirish formulalari — special product formulas
kvadratlar ayirmasi — difference of squares
to‘la kvadrat — perfect square