Ko'phadlar va ular ustida amallar

Ushbu darsda birhadlardan tuzilgan ko‘phadlarni va ular ustida qo‘shish, ayirish hamda ko‘paytirish amallarini o‘rganamiz. Ko‘phadlar algebraning markazida turadi — deyarli har bir tenglama va formula ular tilida yoziladi.

§1. Ko‘phad tushunchasi

O‘tgan darsda birhad — bitta “g‘ishtcha” edi. Bir nechta birhadni qo‘shsak, ko‘phad hosil bo‘ladi.

Ta’rif. Ko‘phad — bir nechta birhadning algebraik yig‘indisi. Har bir birhad ko‘phadning hadi deyiladi. Masalan: $3x^2 - 5x + 2$ uch hadli ko‘phad (uchhad).

Ikki hadli ko‘phad — ikkihad (binom), uch hadli — uchhad (trinom) deyiladi. Ko‘phadning darajasi — uning eng katta darajali hadi ko‘rsatkichi. $3x^2-5x+2$ ning darajasi $2$.

Ta’rif. Ko‘phadni standart shaklga keltirish — o‘xshash hadlarni birlashtirib, hadlarni daraja kamayishi tartibida yozishdir.

Misol. $2x + 3x^2 - 5 + x - x^2$ ni standart shaklga keltiring.
Yechish. O‘xshash hadlarni guruhlaymiz:

$$(3x^2 - x^2) + (2x + x) - 5 = 2x^{2} + 3x - 5$$

Javob. $2x^2+3x-5$.

§2. Ko‘phadlarni qo‘shish va ayirish

Qoida. Ko‘phadlarni qo‘shishda barcha hadlar yoziladi va o‘xshashlari birlashtiriladi. Ayirishda esa ayriluvchi ko‘phadning har bir hadi ishorasi qarama-qarshiga o‘zgaradi (qavs oldida minus turgani uchun).

Misol. $(3x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 5x - 4)$ ni hisoblang.
Yechish.

$$(3x^2+x^2) + (-2x+5x) + (1-4) = 4x^{2} + 3x - 3$$

Javob. $4x^2+3x-3$.

Misol. $(5a^2 - 3a) - (2a^2 - 7a + 1)$ ni hisoblang.
Yechish. Qavsni ochamiz, ikkinchi ko‘phad ishoralari o‘zgaradi:

$$5a^2 - 3a - 2a^2 + 7a - 1 = (5a^2-2a^2) + (-3a+7a) - 1 = 3a^{2} + 4a - 1$$

Javob. $3a^2+4a-1$.

Eslatma. Qavs oldidagi minusni “tarqatishni” unutmang. Eng ko‘p uchraydigan xato — faqat birinchi had ishorasini o‘zgartirib, qolganini eski holicha qoldirishdir.

§3. Ko‘phadni birhad va ko‘phadga ko‘paytirish

Qoida. Ko‘phadni birhadga ko‘paytirish uchun birhadni ko‘phadning har bir hadiga ko‘paytiramiz (taqsimot qonuni):

$$m\,(a+b+c) = ma + mb + mc$$

Ikki ko‘phadni ko‘paytirishda esa birinchisining har bir hadini ikkinchisining har bir hadiga ko‘paytiramiz.

Misol. $3x(2x^2 - x + 4)$ ni hisoblang.
Yechish.

$$3x\cdot 2x^2 - 3x\cdot x + 3x\cdot 4 = 6x^{3} - 3x^{2} + 12x$$

Javob. $6x^3-3x^2+12x$.

Misol. $(x + 2)(x - 3)$ ni hisoblang.
Yechish. Har bir hadni har biriga ko‘paytiramiz:

$$x\cdot x + x\cdot(-3) + 2\cdot x + 2\cdot(-3) = x^{2} - 3x + 2x - 6$$

O‘xshash hadlarni birlashtiramiz:

$$= x^{2} - x - 6$$

Javob. $x^2-x-6$.

Savol. Ikki ko‘phad ko‘paytmasi qancha had beradi? Har bir hadni har biriga ko‘paytirsak, o‘xshashlarini birlashtirishdan oldin hadlar soni ko‘paytuvchilar hadlari sonining ko‘paytmasiga teng bo‘ladi.

§ Lug‘at

ko‘phad — polynomial
had — term
ikkihad — binomial
uchhad — trinomial
ko‘phad darajasi — degree of polynomial
standart shakl — standard form
taqsimot qonuni — distributive law