Logarifmlar va ularning xossalari

Ushbu darsda logarifmlar va ularning xossalari haqida so‘z yuritamiz. Logarifm — darajaga ko‘tarishga teskari amal: u "qaysi darajaga ko‘tarish kerak?" degan savolga javob beradi.

§1. Logarifm tushunchasi

$2^3 = 8$ ekanini bilamiz. Teskari savol: $2$ ni qaysi darajaga ko‘tarsak $8$ chiqadi? Javob — $3$. Aynan shu javob $2$ asosga ko‘ra $8$ ning logarifmi deyiladi.

Ta’rif. $a>0,\ a\ne 1$ va $b>0$ bo‘lsin. $b$ sonining $a$ asosga ko‘ra logarifmi deb, $a$ ni ko‘tarish kerak bo‘lgan darajaga aytiladi va $\log_a b$ kabi belgilanadi. Ya’ni $\log_a b = c \iff a^c = b$.

Misol. $\log_2 8$ va $\log_3 81$ ni hisoblang.

Yechish. Asosni qaysi darajaga ko‘tarsak son chiqishini qidiramiz:

$$\log_2 8 = 3 \ (\text{chunki } 2^3=8), \qquad \log_3 81 = 4 \ (\text{chunki } 3^4=81)$$

Javob. $3$ va $4$.

Eslatma. Logarifm faqat musbat sondan olinadi va asos $1$ dan farqli musbat bo‘lishi shart. $10$ asosli logarifm $\lg b$, $e$ asosli logarifm esa $\ln b$ kabi qisqa yoziladi.

§2. Asosiy ayniyatlar

Ta’rifning o‘zidan bir nechta oddiy natija kelib chiqadi.

Qoida. Ixtiyoriy ruxsat etilgan asos uchun:

$$\log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1, \qquad a^{\log_a b} = b$$

Birinchisi $a^0=1$ dan, ikkinchisi $a^1=a$ dan kelib chiqadi.

§3. Logarifmning asosiy xossalari

Logarifmlar ko‘paytirishni qo‘shishga aylantirgani uchun juda qulay. Quyidagi uch xossa eng muhimi.

Qoida. $x>0,\ y>0$ bo‘lganda:

$$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \qquad \log_a x^k = k\log_a x$$

Savol. Nega ko‘paytma logarifmi yig‘indiga aylanadi? Chunki darajalar ko‘paytirilganda ko‘rsatkichlar qo‘shiladi ($a^m\cdot a^n=a^{m+n}$), logarifm esa aynan o‘sha ko‘rsatkichni qaytaradi.

Misol. $\log_2 8 + \log_2 4$ ni hisoblang.

Yechish. Yig‘indi logarifmini ko‘paytma logarifmiga aylantiramiz:

$$\log_2 8 + \log_2 4 = \log_2(8\cdot 4) = \log_2 32 = 5$$

Javob. $5$.

Misol. $\log_5 100 - \log_5 4$ ni hisoblang.

Yechish. Ayirmani bo‘linma logarifmiga aylantiramiz:

$$\log_5 100 - \log_5 4 = \log_5\frac{100}{4} = \log_5 25 = 2$$

Javob. $2$.

Misol. $\log_3 9^4$ ni hisoblang.

Yechish. Daraja ko‘rsatkichini logarifm oldiga chiqaramiz:

$$\log_3 9^4 = 4\log_3 9 = 4\cdot 2 = 8$$

Javob. $8$.

§4. Asosni almashtirish formulasi

Ba’zan berilgan asosli logarifmni boshqa asosga o‘tkazish kerak bo‘ladi.

Qoida. $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ (bunda $c>0,\ c\ne 1$). Ko‘pincha $c=10$ yoki $c=e$ olinadi.

Misol. $\log_4 8$ ni $2$ asosga o‘tkazib hisoblang.

Yechish. Yangi asos $2$:

$$\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2} = 1{,}5$$

Javob. $1{,}5$.

§ Lug‘at

logarifm — logarithm
logarifm asosi — base of a logarithm
o‘nli logarifm — common logarithm
natural logarifm — natural logarithm
asosiy logarifmik ayniyat — fundamental logarithmic identity
asosni almashtirish — change of base
daraja ko‘rsatkichi — exponent