Ildizli ifodalar

Ushbu darsda ildizli ifodalar — tarkibida ildiz belgisi qatnashgan ifodalar ustida amallar bajarishni o‘rganamiz. Maqsad — ildizli ifodalarni qo‘shish, ko‘paytirish va maxrajni ildizdan xoli qilishdir.

§1. O‘xshash ildizli hadlar

$3\sqrt{2}$ va $5\sqrt{2}$ hadlarida ildiz osti bir xil — $2$. Bunday hadlarni xuddi $3x$ va $5x$ kabi qo‘shsak bo‘ladi.

Ta’rif. O‘xshash ildizli hadlar — ildiz osti ifodalari bir xil bo‘lgan hadlar. Ular qo‘shilganda faqat oldidagi koeffitsientlar qo‘shiladi.

Qoida. $m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m+n)\sqrt{a}$.

Misol. $7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{3}$ ni hisoblang.

Yechish. Ildiz osti hamma yerda $3$, koeffitsientlarni qo‘shamiz ($\sqrt{3}=1\cdot\sqrt{3}$):

$$7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = (7-2+1)\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$

Javob. $6\sqrt{3}$.

Eslatma. Faqat ildiz osti bir xil bo‘lgan hadlarnigina qo‘shish mumkin. $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ni soddalashtirib bo‘lmaydi — ular o‘xshash emas.

§2. Ildizli ifodalarni ko‘paytirish

Ko‘paytirishda ildiz osti sonlar o‘zaro, koeffitsientlar o‘zaro ko‘paytiriladi.

Qoida. $m\sqrt{a}\cdot n\sqrt{b} = mn\sqrt{ab}$.

Misol. $2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}$ ni hisoblang.

Yechish. Koeffitsientlarni va ildiz ostilarni alohida ko‘paytiramiz, so‘ng soddalashtiramiz:

$$2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6} = 10\sqrt{18} = 10\cdot 3\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$$

Javob. $30\sqrt{2}$.

Misol. $(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})$ ni hisoblang.

Yechish. Bu kvadratlar ayirmasi formulasi $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $:

$$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$$

Javob. $3$.

§3. Maxrajni ildizdan xoli qilish

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ko‘rinishidagi ifodada maxrajda ildiz turishi noqulay. Uni surat va maxrajni bir xil ildizga ko‘paytirib yo‘qotamiz.

Qoida. $\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}$ — surat va maxrajni $\sqrt{a}$ ga ko‘paytirish orqali.

Misol. $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ maxrajini ildizdan xoli qiling.

Yechish. Surat va maxrajni $\sqrt{3}$ ga ko‘paytiramiz:

$$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

Javob. $2\sqrt{3}$.

Savol. Maxrajda $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ turgan bo‘lsa-chi? U holda qo‘shma ifoda $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ ga ko‘paytiramiz — chunki $(\sqrt5+\sqrt2)(\sqrt5-\sqrt2)=3$ ratsional son beradi.

§ Lug‘at

ildizli ifoda — radical expression
o‘xshash hadlar — like terms
koeffitsient — coefficient
maxrajni ildizdan xoli qilish — rationalizing the denominator
qo‘shma ifoda — conjugate
ratsional son — rational number