O'lchov birliklari. Birhadlar va algebraik ifodalar

Ushbu darsda amaliy masalalarda ko‘p uchraydigan o‘lchov birliklari bilan ishlashni, so‘ng algebraning asosiy “g‘ishtchalari” bo‘lgan birhad va algebraik ifodalar tushunchalarini o‘rganamiz.

§1. O‘lchov birliklari va ular ustida amallar

Uzunlik, massa, vaqt kabi kattaliklar birliklarda o‘lchanadi. Hisob-kitobda barcha kattaliklarni bir xil birlikka keltirish — eng muhim odat.

Qoida. Uzunlik birliklari o‘nlik tizimda bog‘langan:

$$1\ \text{km}=1000\ \text{m},\quad 1\ \text{m}=100\ \text{sm},\quad 1\ \text{sm}=10\ \text{mm}$$

Yuza birliklarida ko‘paytuvchi kvadratga oshadi: $1\ \text{m}^2 = 100^2 = 10000\ \text{sm}^2$.

Eslatma. Faqat bir xil birlikdagi kattaliklarni qo‘shish yoki ayirish mumkin. $3\ \text{m}+40\ \text{sm}$ ni to‘g‘ridan-to‘g‘ri $43$ deb yozib bo‘lmaydi — avval bir birlikka keltiring.

Misol. $2\ \text{m}\ 30\ \text{sm}$ ni santimetrga aylantiring va $150\ \text{sm}$ ga qo‘shing.
Yechish.

$$2\ \text{m}\ 30\ \text{sm} = 200\ \text{sm}+30\ \text{sm}=230\ \text{sm}$$

$$230\ \text{sm}+150\ \text{sm}=380\ \text{sm}=3\ \text{m}\ 80\ \text{sm}$$

Javob. $380$ sm, ya’ni $3$ m $80$ sm.

§2. Birhad tushunchasi

Endi harflar dunyosiga o‘tamiz. Eng oddiy algebraik ifoda — birhaddir.

Ta’rif. Birhad — sonlar va o‘zgaruvchilarning faqat ko‘paytma va (natural ko‘rsatkichli) darajadan iborat ifodasi. Masalan: $5x^2y$, $-3ab$, $7$, $x$.
Birhadning son ko‘paytuvchisi uning koeffitsienti deyiladi.

Birhad ichida qo‘shish, ayirish yoki o‘zgaruvchiga bo‘lish bo‘lmaydi — faqat ko‘paytma. Shu bois $\dfrac{2}{x}$ yoki $x+3$ birhad emas.

Ta’rif. Birhadning standart shakli — koeffitsient oldinda, so‘ng o‘zgaruvchilar darajalari bilan yozilgan ko‘rinishi. $2\cdot x\cdot 3\cdot x = 6x^2$.

Misol. $2x\cdot(-4x^2y)$ birhadni standart shaklga keltiring.
Yechish. Koeffitsientlarni alohida, bir xil harflarni alohida ko‘paytiramiz:

$$2x\cdot(-4x^2y) = (2\cdot(-4))\cdot(x\cdot x^2)\cdot y = -8x^{3}y$$

Javob. $-8x^3y$.

§3. O‘xshash birhadlar va algebraik ifodalar

Ta’rif. O‘xshash birhadlar — harf qismi (o‘zgaruvchilari va ularning darajalari) bir xil bo‘lgan birhadlar, masalan $3x^2$ va $-7x^2$. Ularni qo‘shish uchun koeffitsientlar qo‘shiladi, harf qismi o‘zgarmaydi.

Savol. $5a^2$ va $5a^3$ o‘xshashmi? Yo‘q — daraja ko‘rsatkichlari har xil, demak ularni birlashtirib bo‘lmaydi.

Misol. $7xy + 3xy - 2xy$ ni soddalashtiring.
Yechish. Barchasi o‘xshash birhad, koeffitsientlarni qo‘shamiz:

$$7xy+3xy-2xy = (7+3-2)xy = 8xy$$

Javob. $8xy$.

Misol. $4a^2b - a^2b + 5ab^2$ ifodada o‘xshash hadlarni ixchamlang.
Yechish. $4a^2b$ va $-a^2b$ o‘xshash, $5ab^2$ esa alohida:

$$4a^2b - a^2b + 5ab^2 = 3a^2b + 5ab^2$$

Javob. $3a^2b+5ab^2$.

Bir nechta birhadning yig‘indisi yoki ayirmasidan tuzilgan ifoda algebraik ifoda deyiladi. Ular bilan keyingi darslarda batafsil ishlaymiz.

§ Lug‘at

o‘lchov birligi — unit of measurement
birhad — monomial
koeffitsient — coefficient
o‘zgaruvchi — variable
standart shakl — standard form
o‘xshash birhadlar — like terms
algebraik ifoda — algebraic expression