Qisqa ko'paytirish formulalari

Ushbu darsda ko‘phadlarni ko‘paytirishda tez-tez uchraydigan ba’zi natijalarni yodlab qo‘yamiz — bular qisqa ko‘paytirish formulalari. Ular hisob-kitobni tezlashtiradi va keyinchalik ifodalarni ko‘paytuvchilarga ajratishda asosiy qurol bo‘ladi.

§1. Yig‘indi va ayirma kvadrati

$(a+b)(a+b)$ ni har safar hadma-had ko‘paytirish o‘rniga, natijani bir marta chiqarib, formula sifatida yodlaymiz.

Qoida. Yig‘indi va ayirmaning kvadrati:

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Nega o‘rtada $2ab$ paydo bo‘ladi? Chunki $(a+b)(a+b)$ ni ochsak, $ab$ va $ba$ ikki marta uchraydi:

Misol. $(x+5)^2$ ni yoying.
Yechish. Formulada $a=x,\ b=5$:

$$(x+5)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 5 + 5^2 = x^{2} + 10x + 25$$

Javob. $x^2+10x+25$.

Misol. $(3a - 2)^2$ ni yoying.
Yechish. $a\to 3a,\ b\to 2$:

$$(3a-2)^2 = (3a)^2 - 2\cdot 3a\cdot 2 + 2^2 = 9a^{2} - 12a + 4$$

Javob. $9a^2-12a+4$.

Eslatma. $(a+b)^2$ hech qachon $a^2+b^2$ ga teng emas! O‘rtadagi $2ab$ hadni tushirib qoldirish — eng ko‘p uchraydigan xato.

§2. Kvadratlar ayirmasi

Qoida. Yig‘indi va ayirmaning ko‘paytmasi kvadratlar ayirmasini beradi:

$$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$

Bu formulaning go‘zalligi shundaki, o‘rtadagi hadlar $-ab$ va $+ab$ o‘zaro qisqaradi.

Misol. $(x-7)(x+7)$ ni hisoblang.
Yechish.

$$(x-7)(x+7) = x^2 - 7^2 = x^{2} - 49$$

Javob. $x^2-49$.

Misol. $49\cdot 51$ ni formuladan foydalanib og‘zaki hisoblang.
Yechish. $49 = 50-1,\ 51 = 50+1$, demak:

$$49\cdot 51 = (50-1)(50+1) = 50^2 - 1^2 = 2500 - 1 = 2499$$

Javob. $2499$.

§3. Kublar formulalari

Qoida. Yig‘indi va ayirmaning kubi, hamda kublar yig‘indisi/ayirmasi:

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$

$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$

Savol. Kublar yig‘indisidagi ikkinchi qavs $a^2-ab+b^2$ da nega $-ab$? Uni yodda saqlash uchun: “to‘liqsiz kvadrat” — o‘rta had ishorasi qavs tashqarisidagi ishoraga qarama-qarshi bo‘ladi.

Misol. $x^3 - 8$ ni ko‘paytuvchilarga ajrating.
Yechish. $8 = 2^3$, demak $a=x,\ b=2$:

$$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$$

Javob. $(x-2)(x^2+2x+4)$.

§ Lug‘at

qisqa ko‘paytirish formulalari — abridged multiplication formulas
yig‘indi kvadrati — square of a sum
ayirma kvadrati — square of a difference
kvadratlar ayirmasi — difference of squares
kublar yig‘indisi — sum of cubes
kublar ayirmasi — difference of cubes
to‘liqsiz kvadrat — incomplete square