Arifmetik kvadrat ildiz va uning xossalari

Ushbu darsda arifmetik kvadrat ildiz tushunchasi va uning xossalari haqida so‘z yuritamiz. Kvadrat ildiz — kvadratga ko‘tarishga teskari amal, xuddi ayirish qo‘shishga teskari bo‘lgani kabi.

§1. Kvadrat ildiz nima?

$5^2 = 25$ ekanini bilamiz. Endi teskari savol: kvadrati $25$ ga teng bo‘lgan musbat son qaysi? Javob — $5$. Aynan shuni topish kvadrat ildiz chiqarish deyiladi.

Ta’rif. $a \ge 0$ sonining arifmetik kvadrat ildizi deb, kvadrati $a$ ga teng bo‘lgan nomanfiy songa aytiladi va $\sqrt{a}$ kabi belgilanadi. Ya’ni $\sqrt{a} = b$ bo‘lsa, $b \ge 0$ va $b^2 = a$.

Eslatma. Manfiy sondan kvadrat ildiz chiqarilmaydi, chunki hech qanday sonning kvadrati manfiy emas. Shuning uchun $\sqrt{a}$ faqat $a \ge 0$ da ma’noga ega.

Savol. Nega "arifmetik" so‘zi qo‘shiladi? Chunki $b^2=25$ tenglamaning ikkita yechimi bor: $5$ va $-5$. Lekin $\sqrt{25}$ belgisi doim faqat nomanfiy qiymatni — $5$ ni bildiradi.

Misol. $\sqrt{49}$ va $\sqrt{0{,}01}$ ni hisoblang.

Yechish. Kvadrati mos son beradigan nomanfiy sonni qidiramiz:

$$\sqrt{49} = 7 \ (\text{chunki } 7^2=49), \qquad \sqrt{0{,}01} = 0{,}1 \ (\text{chunki } 0{,}1^2 = 0{,}01)$$

Javob. $7$ va $0{,}1$.

§2. Asosiy xossalar

Kvadrat ildizni hisoblashda quyidagi ikki xossa eng ko‘p ishlatiladi.

Qoida. Ko‘paytma va bo‘linmaning ildizi:

$$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}, \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a\ge 0,\ b> 0)$$

Misol. $\sqrt{36\cdot 4}$ ni hisoblang.

Yechish. Ko‘paytma ildizini ildizlar ko‘paytmasiga yoyamiz:

$$\sqrt{36\cdot 4} = \sqrt{36}\cdot\sqrt{4} = 6\cdot 2 = 12$$

Javob. $12$.

Qoida. Kvadratning ildizi — sonning moduli: $\sqrt{a^2} = |a|$. Masalan $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$.

§3. Ildiz ostidan ko‘paytuvchini chiqarish

Katta sonli ildizlarni soddalashtirish uchun ildiz ostidagi sonni to‘la kvadrat va qolgan qismga ajratamiz.

Misol. $\sqrt{72}$ ni soddalashtiring.

Yechish. $72 = 36\cdot 2$, bunda $36$ — to‘la kvadrat:

$$\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = \sqrt{36}\cdot\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

Javob. $6\sqrt{2}$.

Misol. $\sqrt{50} + \sqrt{18}$ ni hisoblang.

Yechish. Har bir ildizni soddalashtiramiz, so‘ng o‘xshash hadlarni qo‘shamiz:

$$\sqrt{50}+\sqrt{18} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$

Javob. $8\sqrt{2}$.

§ Lug‘at

kvadrat ildiz — square root
arifmetik kvadrat ildiz — arithmetic square root
ildiz osti ifodasi — radicand
nomanfiy son — non-negative number
modul — absolute value
to‘la kvadrat — perfect square
soddalashtirish — simplification