Chiziqli tenglamalar

Ushbu darsda algebraning poydevori bo‘lgan chiziqli tenglamalar bilan tanishamiz. Ular eng oddiy tenglamalar bo‘lib, ko‘plab murakkab masalalar oxir-oqibat aynan shularga keltiriladi.

§1. Tenglama nima?

Ta’rif. Noma’lumi bo‘lgan tenglik tenglama deyiladi. Tenglamani yechish — uni to‘g‘ri tenglikka aylantiradigan noma’lum qiymatlarini (ildizlarni) topish demakdir.

Masalan, $x + 3 = 7$ tenglikda $x$ noma’lum. Uni to‘g‘ri qiladigan yagona qiymat $x = 4$.

Ta’rif. $ax + b = 0$ ko‘rinishidagi tenglama chiziqli tenglama deyiladi, bunda $a$ va $b$ — berilgan sonlar, $x$ — noma’lum, $a \neq 0$.

Savol. Nega biz noma’lumni yolg‘iz qoldirishga intilamiz? Chunki $x = \ldots$ ko‘rinishi javobni to‘g‘ridan-to‘g‘ri ko‘rsatib turadi.

§2. Yechish qoidasi

Tenglama tarozi kabidir: ikkala pallaga bir xil amal qilsak, muvozanat buzilmaydi.

Qoida. Tenglamaning ikkala tomoniga bir xil son qo‘shish yoki undan ayirish mumkin. Shuningdek, ikkala tomonni bir xil noldan farqli songa ko‘paytirish yoki bo‘lish mumkin — ildizlar o‘zgarmaydi.

Bir haddni tenglamaning bir tomonidan ikkinchisiga ishorasini o‘zgartirib o‘tkazish ham shu qoidadan kelib chiqadi.

Misol. $5x - 8 = 2x + 7$ tenglamani yeching.
Yechish. Noma’lumlarni chapga, sonlarni o‘ngga to‘playmiz:

Javob. $x = 5$.

Misol. $3(x - 2) = 2x + 4$ tenglamani yeching.
Yechish. Avval qavsni ochamiz:

Javob. $x = 10$.

Misol. Kasrli $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$ tenglamani yeching.
Yechish. Maxrajlarning eng kichik umumiy karralisi $6$ ga ko‘paytiramiz:

Javob. $x = 6$.

§3. Maxsus hollar

Har doim ham yagona ildiz bo‘lavermaydi.

Eslatma. Agar soddalashtirishdan keyin $0\cdot x = 0$ ko‘rinish chiqsa, tenglama cheksiz ko‘p yechimga ega (har qanday son to‘g‘ri keladi). Agar $0\cdot x = 5$ kabi yolg‘on tenglik chiqsa, yechim umuman yo‘q.

Misol. $2(x + 1) = 2x + 2$ tenglamani tekshiring.
Yechish.

Javob. Har qanday $x$ — yechim (cheksiz ko‘p ildiz).

§ Lug‘at

tenglama — equation
noma’lum — unknown
ildiz — root
chiziqli tenglama — linear equation
koeffitsient — coefficient
yechim — solution