Modulli ifodalar va tenglamalar

Ushbu darsda sonning absolyut qiymati — moduli tushunchasi bilan va modul qatnashgan tenglamalarni yechish bilan tanishamiz.

§1. Modul nima?

Ta’rif. Sonning moduli (absolyut qiymati) — uning son o‘qida nol nuqtadan uzoqligi. Belgisi $|a|$:

Masalan, $|5| = 5$ va $|-5| = 5$. Modul hech qachon manfiy bo‘lmaydi.

Savol. Nega $|-3|$ soni $3$ ga teng? Chunki $-3$ nol nuqtadan $3$ birlik uzoqlikda joylashgan, uzoqlik esa manfiy bo‘la olmaydi.

§2. Eng sodda modulli tenglamalar

Qoida. $|x| = a$ tenglama: agar $a > 0$ bo‘lsa $x = a$ yoki $x = -a$; agar $a = 0$ bo‘lsa $x = 0$; agar $a < 0$ bo‘lsa yechim yo‘q.

Misol. $|x - 3| = 5$ ni yeching.
Yechish. Ikki holni ko‘rib chiqamiz:

Javob. $x_1 = 8,\ x_2 = -2$.

Misol. $|2x + 1| = 7$ ni yeching.
Yechish.

Javob. $x_1 = 3,\ x_2 = -4$.

Misol. $|x + 4| = -2$ ni yeching.
Yechish. Modul manfiy qiymat qabul qila olmaydi.
Javob. Yechim yo‘q.

§3. Murakkabroq modulli tenglamalar

Qoida. $|A| = |B|$ ko‘rinishidagi tenglama $A = B$ yoki $A = -B$ hollariga ajraladi.

Misol. $|x - 1| = |2x + 3|$ ni yeching.
Yechish.

Javob. $x_1 = -4,\ x_2 = -\dfrac{2}{3}$.

Misol. $|x| = 2x - 3$ ni yeching.
Yechish. O‘ng tomon manfiy bo‘lmasligi shart: $2x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1{,}5$. Endi hollarni ko‘rib chiqamiz.
Agar $x \ge 0$: $x = 2x - 3 \Rightarrow x = 3$ (shartga mos).
Agar $x < 0$: $-x = 2x - 3 \Rightarrow 3 = 3x \Rightarrow x = 1$, ammo bu $x < 0$ shartiga zid — rad etiladi.
Javob. $x = 3$.

Eslatma. Modulli tenglama yechganda topilgan ildizlarni albatta dastlabki tenglamaga qo‘yib tekshiring — ba’zi “ildizlar” begona (chet) bo‘lib chiqishi mumkin.

§ Lug‘at

modul — modulus
absolyut qiymat — absolute value
son o‘qi — number line
begona ildiz — extraneous root
uzoqlik — distance
hol — case