Irratsional tengsizliklar

Ushbu darsda ildiz belgisi ostida noma’lum qatnashgan tengsizliklar haqida so‘z yuritamiz. Irratsional tenglamalardan farqli o‘laroq, bu yerda ehtiyot bo‘lish kerak: tengsizlikni kvadratlash faqat ma’lum shartlarda joizdir, aks holda ishora buzilib ketadi.

§1. Nega ehtiyotkorlik kerak?

Savol. $-3 < 2$ to‘g‘ri. Ammo kvadratlasak $9 < 4$ — noto‘g‘ri! Nima uchun? Chunki kvadratlash faqat ikkala tomon manfiy bo‘lmaganida tartibni saqlaydi.

Aynan shu sabab irratsional tengsizliklarni yechishda aniqlanish sohasi va tomonlarning ishorasini alohida hisobga olamiz.

Ta’rif. Ildiz belgisi ostida noma’lum qatnashgan tengsizlik irratsional tengsizlik deyiladi. Masalan $\sqrt{x+1} < 3$.

§2. Ikki asosiy tur

Qoida. $\sqrt{f(x)} < g(x)$ tengsizlik quyidagi sistemaga teng kuchli:

$$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < g(x)^2 \end{cases}$$

Ya’ni ildiz osti aniqlangan, o‘ng tomon musbat va kvadratlash joiz.

Qoida. $\sqrt{f(x)} > g(x)$ tengsizlik ikki holning birlashmasi:

$$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) < 0 \end{cases} \quad \text{yoki} \quad \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > g(x)^2 \end{cases}$$

Birinchi holda o‘ng tomon manfiy — ildiz doim undan katta. Ikkinchi holda ikkala tomon musbat, kvadratlaymiz.

Eslatma. «Kichik» holida sistema (VA), «katta» holida esa ikki holning birlashmasi (YOKI) chiqishini eslab qoling. Bu farqni chalkashtirmaslik — muvaffaqiyat kaliti.

§3. Misollar

Misol. $\sqrt{x+1} < 3$ tengsizlikni yeching.
Yechish. «Kichik» qoidasiga ko‘ra sistema tuzamiz ($g(x)=3>0$ har doim):

Javob. $x \in [-1;\,8)$.

Misol. $\sqrt{2x-3} < x-3$ tengsizlikni yeching.
Yechish. Sistema:

Uchinchi shart: $2x-3 < x^2 - 6x + 9 \Rightarrow x^2 - 8x + 12 > 0 \Rightarrow (x-2)(x-6) > 0$, ya’ni $x<2$ yoki $x>6$. Birinchi ikki shartdan $x \ge \tfrac{3}{2}$ va $x>3$, ya’ni $x>3$. Kesishma: $x>6$.

Javob. $x \in (6;\,+\infty)$.

Misol. $\sqrt{x^2 - 4} > x - 3$ tengsizlikni yeching.
Yechish. «Katta» qoidasi, ikki hol.
1-hol (o‘ng tomon manfiy): $\begin{cases} x^2-4 \ge 0 \\ x-3 < 0 \end{cases}$. Bundan $x\le -2$ yoki $x\ge 2$, hamda $x<3$. Natija: $x \le -2$ yoki $2 \le x < 3$.
2-hol (ikkala tomon musbat): $\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ x^2-4 > (x-3)^2 \end{cases}$. Ikkinchisi: $x^2-4 > x^2 - 6x + 9 \Rightarrow 6x > 13 \Rightarrow x > \tfrac{13}{6}$. $x\ge 3$ bilan kesishmasi $x \ge 3$.
Barcha natijalarni birlashtiramiz: $x\le -2$ yoki $x \ge 2$.
Javob. $x \in (-\infty;\,-2] \cup [2;\,+\infty)$.

Misol. $\sqrt{5-x} \ge 1$ tengsizlikni yeching.
Yechish. O‘ng tomon musbat, «katta yoki teng» — sistema:

Javob. $x \in (-\infty;\,4]$.

Eslatma. Har doim ildiz ostidagi ifodaning manfiy emasligini (aniqlanish sohasini) unutmang — u yakuniy javobni cheklaydi.

§ Lug‘at

irratsional tengsizlik — irrational inequality
teng kuchli sistema — equivalent system
ishora — sign
aniqlanish sohasi — domain
kesishma (kesishuv) — intersection
birlashma — union