Logarifmik tengsizliklar

Ushbu darsda logarifm qatnashgan tengsizliklar haqida so‘z yuritamiz. Bunda ikki narsani bir vaqtda yodda tutish kerak: aniqlanish sohasi (logarifm ostidagi ifodalar musbat) va asosning kattaligi (u ishora saqlanishi yoki aylanishini belgilaydi).

§1. Logarifmning monotonligi

$y = \log_a x$ funksiya $a>1$ da o‘suvchi, $0<a<1$ da kamayuvchi. Xuddi ko‘rsatkichli tengsizliklardagidek, o‘suvchi funksiya tartibni saqlaydi, kamayuvchi buzadi.

Qoida. $a>1$ bo‘lsa: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \iff f(x) > g(x) > 0$.
$0<a<1$ bo‘lsa: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \iff 0 < f(x) < g(x)$ (ishora aylanadi).

Eslatma. $f(x)>0$ va $g(x)>0$ shartlarini hech qachon unutmang — ular aniqlanish sohasini beradi va yakuniy javobni cheklaydi.

Savol. $\log_{0{,}5} x$ funksiyasi $x$ ortishi bilan kamayadi. Demak logarifm kattaroq bo‘lishi uchun $x$ kichikroq bo‘lishi kerak — mana shundan ishora teskarisiga aylanadi.

§2. Asosi birdan katta hol

Misol. $\log_2 (x-1) < 3$ tengsizlikni yeching.
Yechish. $3 = \log_2 8$. Asos $2>1$, ishora saqlanadi, ODZ ni ham qo‘shamiz:

Javob. $x \in (1;\,9)$.

Misol. $\log_3 (2x+1) \ge \log_3 (x+4)$ tengsizlikni yeching.
Yechish. Asos $3>1$, ishora saqlanadi:

ODZ: $x+4>0$ (ya’ni $x>-4$) va $2x+1>0$ (ya’ni $x>-\tfrac{1}{2}$). $x\ge 3$ bularni qanoatlantiradi.

Javob. $x \in [3;\,+\infty)$.

§3. Asosi birdan kichik hol

Misol. $\log_{0{,}5} (x+1) > -2$ tengsizlikni yeching.
Yechish. $-2 = \log_{0{,}5} 4$ (chunki $0{,}5^{-2}=4$). Asos $<1$, ishora aylanadi, ODZ bilan:

Javob. $x \in (-1;\,3)$.

Misol. $\log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 4) \ge -2$ tengsizlikni yeching.
Yechish. $-2 = \log_{\frac{1}{3}} 9$. Asos $<1$, ishora aylanadi:

$x^2-4>0 \Rightarrow x<-2$ yoki $x>2$. $x^2-4 \le 9 \Rightarrow x^2 \le 13 \Rightarrow -\sqrt{13}\le x \le \sqrt{13}$. Kesishma:

Javob. $x \in [-\sqrt{13};\,-2) \cup (2;\,\sqrt{13}]$.

§4. Yangi o‘zgaruvchi bilan

Misol. $\log_3^2 x - \log_3 x - 2 < 0$ tengsizlikni yeching.
Yechish. $t = \log_3 x$:

Demak $-1 < \log_3 x < 2$, ya’ni $3^{-1} < x < 3^2$:

Javob. $x \in \left(\tfrac{1}{3};\,9\right)$.

Eslatma. Yangi o‘zgaruvchidan qaytishda $x>0$ sharti allaqachon $t=\log_3 x$ ta’rifida mavjud — logarifm faqat musbat sondan olingani uchun qo‘shimcha cheklov kelib chiqmaydi.

§ Lug‘at

logarifmik tengsizlik — logarithmic inequality
aniqlanish sohasi (ODZ) — domain of definition
o‘suvchi funksiya — increasing function
kamayuvchi funksiya — decreasing function
ishora o‘zgarishi — sign reversal
kesishma — intersection