Ratsional tengsizliklar

Ushbu darsda kasr yoki ko‘paytma ko‘rinishidagi ratsional tengsizliklarni intervallar usuli yordamida yechishni o‘rganamiz.

§1. Ratsional tengsizlik tushunchasi

Ta’rif. Ratsional ifodalar (ko‘phad yoki ko‘phadlar nisbati) qatnashgan tengsizlik ratsional tengsizlik deyiladi, masalan $\dfrac{x - 1}{x + 2} > 0$.

Qoida. Ikki sonning ko‘paytmasi (yoki nisbati) musbat bo‘lishi uchun ular bir xil ishorali, manfiy bo‘lishi uchun turli ishorali bo‘lishi kerak. Intervallar usuli aynan shu oddiy g‘oyaga asoslanadi.

§2. Intervallar usuli

Qoida. Bosqichlar: (1) barcha hadni bir tomonga o‘tkazib, ifodani ko‘paytuvchilarga ajratamiz; (2) uni nolga aylantiruvchi nuqtalarni son o‘qiga qo‘yamiz (maxrajning nollari — bo‘sh nuqta); (3) har bir oraliqda ifodaning ishorasini aniqlaymiz; (4) kerakli ishoradagi oraliqlarni tanlaymiz.

Misol. $(x - 1)(x - 4) > 0$ ni yeching.
Yechish. Nollari $x = 1$ va $x = 4$. Son o‘qi uch oraliqqa bo‘linadi. Ishoralarni tekshiramiz: $x = 0$ da $(-)(-) = +$; $x = 2$ da $(+)(-) = -$; $x = 5$ da $(+)(+) = +$.

Musbat oraliqlarni tanlaymiz.

Javob. $x \in (-\infty;\ 1) \cup (4;\ +\infty)$.

Misol. $x^2 - x - 6 \le 0$ ni yeching.
Yechish. Ko‘paytuvchilarga ajratamiz:

Nollari $-2$ va $3$; ifoda ular orasida manfiy. Belgi $\le$ bo‘lgani uchun uchlari ham javobga kiradi.

Javob. $x \in [-2;\ 3]$.

§3. Kasrli tengsizliklar

Eslatma. Kasrli tengsizlikda maxrajni nolga aylantiruvchi nuqta hech qachon javobga kirmaydi (u yerda ifoda aniqlanmaydi), hatto belgi $\ge$ yoki $\le$ bo‘lsa ham.

Misol. $\dfrac{x - 2}{x + 1} \ge 0$ ni yeching.
Yechish. Nollar: surat uchun $x = 2$ (kiradi), maxraj uchun $x = -1$ (kirmaydi). Ishoralar: $x = -2$ da $\frac{-}{-} = +$; $x = 0$ da $\frac{-}{+} = -$; $x = 3$ da $\frac{+}{+} = +$.

Musbat oraliqlarni olamiz: $x = 2$ kiradi, $x = -1$ kirmaydi.

Javob. $x \in (-\infty;\ -1) \cup [2;\ +\infty)$.

Misol. $\dfrac{x + 3}{x - 1} < 0$ ni yeching.
Yechish. Nisbat manfiy — surat va maxraj turli ishorali. Nollar $-3$ va $1$; nisbat aynan ular orasida manfiy.
Javob. $x \in (-3;\ 1)$.

§ Lug‘at

ratsional tengsizlik — rational inequality
intervallar usuli — interval (sign) method
ko‘paytuvchilarga ajratish — factoring
son o‘qi — number line
maxraj — denominator
ishora — sign