Ko'rsatkichli tengsizliklar

Ushbu darsda ko‘rsatkichli tengsizliklar, ya’ni noma’lum daraja ko‘rsatkichida turgan tengsizliklar haqida so‘z yuritamiz. Bu yerda eng muhim narsa — asosning kattaligi: u birdan katta yoki kichikligiga qarab tengsizlik ishorasi saqlanadi yoki teskarisiga o‘zgaradi.

§1. Monotonlik va ishora

$y = a^x$ funksiya $a>1$ da o‘suvchi, $0<a<1$ da esa kamayuvchi. O‘suvchi funksiya tartibni saqlaydi, kamayuvchi esa buzadi. Aynan shu ko‘rsatkichli tengsizliklarning butun mohiyati.

Qoida. $a > 1$ bo‘lsa: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$ (ishora saqlanadi).
$0 < a < 1$ bo‘lsa: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$ (ishora teskarisiga o‘zgaradi).

Savol. $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ ni ko‘z oldingizga keltiring: $x$ ortsa, qiymat kamayadi. Demak katta daraja qiymati kichik $x$ ga to‘g‘ri kelishi tabiiy, shundan ishora aylanadi.

Eslatma. Har doim avval ikkala tomonni bir xil asosga keltiring, keyin asosni $1$ bilan taqqoslab, ishorani saqlash yoki aylantirishga qaror qiling.

§2. Asosi birdan katta hol

Misol. $2^x > 16$ tengsizlikni yeching.
Yechish. $16 = 2^4$, asos $2>1$, ishora saqlanadi:

Javob. $x \in (4;\,+\infty)$.

Misol. $3^{x^2 - x} \le 9$ tengsizlikni yeching.
Yechish. $9 = 3^2$, asos $3>1$:

Bundan $-1 \le x \le 2$.

Javob. $x \in [-1;\,2]$.

§3. Asosi birdan kichik hol

Misol. $\left(\tfrac{1}{3}\right)^x > 9$ tengsizlikni yeching.
Yechish. $9 = \left(\tfrac{1}{3}\right)^{-2}$. Asos $\tfrac{1}{3}<1$, ishora aylanadi:

Javob. $x \in (-\infty;\,-2)$.

Misol. $0{,}5^{\,2x-1} \ge 0{,}25$ tengsizlikni yeching.
Yechish. $0{,}25 = 0{,}5^2$. Asos $0{,}5<1$, ishora teskarisiga:

Javob. $x \in (-\infty;\,1{,}5]$.

§4. Yangi o‘zgaruvchi bilan

Misol. $4^x - 3\cdot 2^x - 4 > 0$ tengsizlikni yeching.
Yechish. $t = 2^x > 0$:

$t>0$ bo‘lgani uchun $t+1>0$ har doim, demak $t-4>0$, ya’ni $t>4$:

Javob. $x \in (2;\,+\infty)$.

Misol. $2^x + 2^{1-x} < 3$ tengsizlikni yeching.
Yechish. $2^{1-x} = \dfrac{2}{2^x}$. $t=2^x>0$:

Bundan $1 < t < 2$, ya’ni $1 < 2^x < 2$, demak $0 < x < 1$.

Javob. $x \in (0;\,1)$.

Eslatma. Almashtirishdan so‘ng $t>0$ sharti doim amal qiladi — u ba’zan ildizning bir qismini olib tashlaydi, xuddi yuqoridagi $t+1>0$ holidagidek.

§ Lug‘at

ko‘rsatkichli tengsizlik — exponential inequality
asos — base
o‘suvchi funksiya — increasing function
kamayuvchi funksiya — decreasing function
ishora o‘zgarishi — sign reversal
yangi o‘zgaruvchi — substitution