Modulli tengsizliklar

Ushbu darsda ichida modul (absolyut qiymat) qatnashgan tengsizliklar haqida so‘z yuritamiz. Modul — sonning noldan uzoqligini bildiradi, shuning uchun modulli tengsizlikni yechish, aslida, sonlar o‘qidagi masofa haqida o‘ylashdir.

§1. Modul tushunchasi

Ta’rif. $x$ sonning moduli deb, $|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ ko‘rinishida aniqlanadigan manfiy bo‘lmagan songa aytiladi.

Geometrik ma’noda $|x|$ — bu $x$ nuqtaning nolgacha bo‘lgan masofasi. Xuddi shunday, $|x-a|$ — $x$ va $a$ nuqtalar orasidagi masofa. Aynan shu qarash modulli tengsizliklarni tushunishning kaliti.

Savol. Agar $|x|=5$ bo‘lsa, $x$ qanday qiymatlar oladi? Noldan 5 masofada turgan nuqtalarni izlasak, javob $x=5$ yoki $x=-5$ ekanini ko‘ramiz.

§2. Ikki asosiy qoida

Qoida. $a>0$ uchun:
$|f(x)| < a \iff -a < f(x) < a$;
$|f(x)| > a \iff f(x) > a$ yoki $f(x) < -a$.

Birinchi holni «ichkarida» (noldan yaqin), ikkinchisini «tashqarida» (noldan uzoq) deb eslab qolish qulay.

Misol. $|2x-1| < 7$ tengsizlikni yeching.
Yechish. Qoida bo‘yicha ikki tomonlama tengsizlikka o‘tamiz:

Har tomonga $1$ qo‘shamiz:

Ikkiga bo‘lamiz:

Javob. $x \in (-3;\,4)$.

Misol. $|3x+2| \ge 5$ tengsizlikni yeching.
Yechish. «Tashqarida» holi, ikkita alohida tengsizlik:

Birinchisidan $3x \ge 3$, ya’ni $x \ge 1$. Ikkinchisidan $3x \le -7$, ya’ni $x \le -\tfrac{7}{3}$.

Javob. $x \in \left(-\infty;\,-\tfrac{7}{3}\right] \cup [1;\,+\infty)$.

§3. Ikki modulli tengsizliklar

Agar tengsizlikda bir nechta modul bo‘lsa, oraliqlar usulidan foydalanamiz: har bir modul ichini nolga tenglab, sonlar o‘qini bo‘laklarga ajratamiz va har bo‘lakda modullarni ochamiz.

Eslatma. Modul ichini nolga tenglagan nuqtalar — «sinish» nuqtalari. Aynan shu nuqtalar o‘qni oraliqlarga bo‘ladi va har oraliqda ishorani aniq bilamiz.

Misol. $|x-1| + |x+2| \le 5$ tengsizlikni yeching.
Yechish. Sinish nuqtalari: $x=1$ va $x=-2$. O‘qni uchga bo‘lamiz.

1. $x < -2$: ikkala ifoda manfiy, $-(x-1)-(x+2) \le 5 \Rightarrow -2x-1 \le 5 \Rightarrow x \ge -3$. Demak $-3 \le x < -2$.
2. $-2 \le x < 1$: $-(x-1)+(x+2) = 3 \le 5$ — har doim to‘g‘ri. Butun oraliq mos.
3. $x \ge 1$: $(x-1)+(x+2) \le 5 \Rightarrow 2x+1 \le 5 \Rightarrow x \le 2$. Demak $1 \le x \le 2$.
   Uchala natijani birlashtiramiz.

Javob. $x \in [-3;\,2]$.

Misol. $|x| < |x-4|$ tengsizlikni yeching.
Yechish. Masofa tili bilan: $x$ noldan $4$ ga qaraganda yaqinroq bo‘lishi kerak. O‘rta nuqta $x=2$, demak chapdagi nuqtalar mos. Tekshiramiz — har tomonni kvadratlaymiz (ikkala tomon manfiy emas):

Javob. $x \in (-\infty;\,2)$.

Eslatma. Modulli tengsizlikda ikki tomonni kvadratlash faqat ikkala tomon manfiy bo‘lmaganida xavfsiz. $|A|<|B|$ ko‘rinishida bu shart doim bajariladi.

§ Lug‘at

modul (absolyut qiymat) — absolute value
tengsizlik — inequality
masofa — distance
oraliqlar usuli — interval method
kvadratlash — squaring
sonlar o‘qi — number line