Kvadrat tenglama va uning ildizlari

Ushbu darsda matematikada juda muhim o‘rin tutadigan kvadrat tenglamalar va ularning ildizlarini topish usullari bilan tanishamiz.

§1. Kvadrat tenglama nima?

Ta’rif. $ax^2 + bx + c = 0$ ko‘rinishidagi tenglama kvadrat tenglama deyiladi, bunda $a \neq 0$, $a,\ b,\ c$ — koeffitsientlar.

Agar $b = 0$ yoki $c = 0$ bo‘lsa, tenglama to‘liqsiz deyiladi va osonroq yechiladi.

Misol. To‘liqsiz $x^2 - 9 = 0$ tenglamani yeching.
Yechish.

Javob. $x_1 = 3,\ x_2 = -3$.

§2. Diskriminant formulasi

Qoida. To‘liq kvadrat tenglama ildizlari diskriminant orqali topiladi:

Qoida. Ildizlar soni $D$ ga bog‘liq: $D > 0$ bo‘lsa ikkita har xil ildiz; $D = 0$ bo‘lsa bitta (ikkilangan) ildiz; $D < 0$ bo‘lsa haqiqiy ildiz yo‘q.

Misol. $x^2 - 5x + 6 = 0$ ni yeching.
Yechish. Bu yerda $a = 1,\ b = -5,\ c = 6$:

Javob. $x_1 = 3,\ x_2 = 2$.

Misol. $2x^2 + 4x + 2 = 0$ ni yeching.
Yechish. $a = 2,\ b = 4,\ c = 2$:

Javob. $x = -1$ (yagona ildiz).

Misol. $x^2 + x + 1 = 0$ ni yeching.
Yechish.

Javob. Haqiqiy ildiz yo‘q.

§3. Grafik ma’nosi

Kvadrat tenglamaning ildizlari — $y = ax^2 + bx + c$ parabolasining $Ox$ o‘qini kesib o‘tish nuqtalaridir. $D > 0$ da parabola o‘qni ikki nuqtada kesadi, $D = 0$ da unga urinadi, $D < 0$ da esa umuman tegmaydi.

Eslatma. Yechishdan oldin tenglamani $ax^2 + bx + c = 0$ standart ko‘rinishga keltiring va bosh koeffitsient $a$ musbat bo‘lishiga erishing — hisob-kitob osonlashadi.

§ Lug‘at

kvadrat tenglama — quadratic equation
diskriminant — discriminant
ildiz — root
parabola — parabola
to‘liqsiz tenglama — incomplete equation
koeffitsient — coefficient